Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31188 / 14788
↖ ↑ ↗
← N 69.771356°
W  8.679199°		 ← 211.19 m → N 69.771356°
W  8.673706°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
N 69.769456°
W  8.679199°		 ← 211.21 m →
44 605 m²		 N 69.769456°
W  8.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475898742675781 y=0.225654602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475898742675781 × 216)
    floor (0.475898742675781 × 65536)
    floor (31188.5)     		tx = 31188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225654602050781 × 216)
    floor (0.225654602050781 × 65536)
    floor (14788.5)     		ty = 14788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31188 / 14788 ti = "16/31188/14788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31188/14788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31188 ÷ 216
    31188 ÷ 65536     		x = 0.47589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14788 ÷ 216
    14788 ÷ 65536     		y = 0.22564697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22564697265625 × 2 - 1) × π
    0.5487060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15148060} λ = -0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72381091033722))-π/2
    2×atan(5.60585120525015)-π/2
    2×1.39426810380359-π/2
    2.78853620760718-1.57079632675     		φ = 1.21773988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21773988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.771356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31188 KachelY 14788 -0.15148060 1.21773988 -8.679199 69.771356
    Oben rechts KachelX + 1 31189 KachelY 14788 -0.15138473 1.21773988 -8.673706 69.771356
    Unten links KachelX 31188 KachelY + 1 14789 -0.15148060 1.21770673 -8.679199 69.769456
    Unten rechts KachelX + 1 31189 KachelY + 1 14789 -0.15138473 1.21770673 -8.673706 69.769456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21773988-1.21770673) × R
    3.31500000001483e-05 × 6371000     		dl = 211.198650000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21773988-1.21770673) × R
    3.31500000001483e-05 × 6371000     		dr = 211.198650000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15148060--0.15138473) × cos(1.21773988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345767344050933 × 6371000     		do = 211.190465011687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15148060--0.15138473) × cos(1.21770673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345798449178151 × 6371000     		du = 211.209463642977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21773988)-sin(1.21770673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345767344050933-0.345798449178151)×R²
    abs(-0.15138473--0.15148060)×3.11051272187668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11051272187668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11051272187668e-05×40589641000000     		ar = 44605.147350288m²