Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31188 / 14755
↖ ↑ ↗
← N 69.833942°
W  8.679199°		 ← 210.56 m → N 69.833942°
W  8.673706°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
N 69.832048°
W  8.679199°		 ← 210.58 m →
44 339 m²		 N 69.832048°
W  8.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475898742675781 y=0.225151062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475898742675781 × 216)
    floor (0.475898742675781 × 65536)
    floor (31188.5)     		tx = 31188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225151062011719 × 216)
    floor (0.225151062011719 × 65536)
    floor (14755.5)     		ty = 14755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31188 / 14755 ti = "16/31188/14755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31188/14755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31188 ÷ 216
    31188 ÷ 65536     		x = 0.47589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14755 ÷ 216
    14755 ÷ 65536     		y = 0.225143432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225143432617188 × 2 - 1) × π
    0.549713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72697474571214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15148060} λ = -0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72697474571214))-π/2
    2×atan(5.62361528208925)-π/2
    2×1.39481426807327-π/2
    2.78962853614653-1.57079632675     		φ = 1.21883221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21883221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.833942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31188 KachelY 14755 -0.15148060 1.21883221 -8.679199 69.833942
    Oben rechts KachelX + 1 31189 KachelY 14755 -0.15138473 1.21883221 -8.673706 69.833942
    Unten links KachelX 31188 KachelY + 1 14756 -0.15148060 1.21879916 -8.679199 69.832048
    Unten rechts KachelX + 1 31189 KachelY + 1 14756 -0.15138473 1.21879916 -8.673706 69.832048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21883221-1.21879916) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21883221-1.21879916) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15148060--0.15138473) × cos(1.21883221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		do = 210.564308925118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15148060--0.15138473) × cos(1.21879916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		du = 210.583257858986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21883221)-sin(1.21879916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344742182583523-0.344773206344636)×R²
    abs(-0.15138473--0.15148060)×3.10237611134689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10237611134689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10237611134689e-05×40589641000000     		ar = 44338.7422244325m²