Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31183 / 37617
↖ ↑ ↗
← S 25.725684°
W  8.706665°		 ← 550.25 m → S 25.725684°
W  8.701172°		 →
↑
550.26 m
↓
↑
550.26 m
↓
S 25.730633°
W  8.706665°		 ← 550.23 m →
302 775 m²		 S 25.730633°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475822448730469 y=0.573997497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475822448730469 × 216)
    floor (0.475822448730469 × 65536)
    floor (31183.5)     		tx = 31183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573997497558594 × 216)
    floor (0.573997497558594 × 65536)
    floor (37617.5)     		ty = 37617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31183 / 37617 ti = "16/31183/37617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31183/37617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31183 ÷ 216
    31183 ÷ 65536     		x = 0.475814819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37617 ÷ 216
    37617 ÷ 65536     		y = 0.573989868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475814819335938 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573989868164062 × 2 - 1) × π
    -0.147979736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.464892052515305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15195997} λ = -0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464892052515305))-π/2
    2×atan(0.628202914454149)-π/2
    2×0.560899219924807-π/2
    1.12179843984961-1.57079632675     		φ = -0.44899789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44899789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.725684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31183 KachelY 37617 -0.15195997 -0.44899789 -8.706665 -25.725684
    Oben rechts KachelX + 1 31184 KachelY 37617 -0.15186410 -0.44899789 -8.701172 -25.725684
    Unten links KachelX 31183 KachelY + 1 37618 -0.15195997 -0.44908426 -8.706665 -25.730633
    Unten rechts KachelX + 1 31184 KachelY + 1 37618 -0.15186410 -0.44908426 -8.701172 -25.730633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44899789--0.44908426) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dl = 550.263270000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44899789--0.44908426) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dr = 550.263270000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(-0.44899789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90088253346565 × 6371000     		do = 550.248033647423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(-0.44908426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900845040086889 × 6371000     		du = 550.225133150219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44899789)-sin(-0.44908426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90088253346565-0.900845040086889)×R²
    abs(-0.15186410--0.15195997)×3.74933787612441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74933787612441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74933787612441e-05×40589641000000     		ar = 302774.981842862m²