Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31183 / 19823
↖ ↑ ↗
← N 57.754007°
W  8.706665°		 ← 325.89 m → N 57.754007°
W  8.701172°		 →
↑
325.94 m
↓
↑
325.94 m
↓
N 57.751076°
W  8.706665°		 ← 325.92 m →
106 225 m²		 N 57.751076°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475822448730469 y=0.302482604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475822448730469 × 216)
    floor (0.475822448730469 × 65536)
    floor (31183.5)     		tx = 31183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302482604980469 × 216)
    floor (0.302482604980469 × 65536)
    floor (19823.5)     		ty = 19823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31183 / 19823 ti = "16/31183/19823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31183/19823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31183 ÷ 216
    31183 ÷ 65536     		x = 0.475814819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19823 ÷ 216
    19823 ÷ 65536     		y = 0.302474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475814819335938 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302474975585938 × 2 - 1) × π
    0.395050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24108633116325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15195997} λ = -0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24108633116325))-π/2
    2×atan(3.45936944510748)-π/2
    2×1.28939695263684-π/2
    2.57879390527368-1.57079632675     		φ = 1.00799758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00799758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.754007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31183 KachelY 19823 -0.15195997 1.00799758 -8.706665 57.754007
    Oben rechts KachelX + 1 31184 KachelY 19823 -0.15186410 1.00799758 -8.701172 57.754007
    Unten links KachelX 31183 KachelY + 1 19824 -0.15195997 1.00794642 -8.706665 57.751076
    Unten rechts KachelX + 1 31184 KachelY + 1 19824 -0.15186410 1.00794642 -8.701172 57.751076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00799758-1.00794642) × R
    5.11600000001611e-05 × 6371000     		dl = 325.940360001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00799758-1.00794642) × R
    5.11600000001611e-05 × 6371000     		dr = 325.940360001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(1.00799758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533555366966593 × 6371000     		do = 325.88909276105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(1.00794642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533598635612837 × 6371000     		du = 325.915520721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00799758)-sin(1.00794642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533555366966593-0.533598635612837)×R²
    abs(-0.15186410--0.15195997)×4.32686462441545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32686462441545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32686462441545e-05×40589641000000     		ar = 106224.715207552m²