Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31183 / 19567
↖ ↑ ↗
← N 58.496564°
W  8.706665°		 ← 319.17 m → N 58.496564°
W  8.701172°		 →
↑
319.19 m
↓
↑
319.19 m
↓
N 58.493694°
W  8.706665°		 ← 319.19 m →
101 878 m²		 N 58.493694°
W  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475822448730469 y=0.298576354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475822448730469 × 216)
    floor (0.475822448730469 × 65536)
    floor (31183.5)     		tx = 31183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298576354980469 × 216)
    floor (0.298576354980469 × 65536)
    floor (19567.5)     		ty = 19567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31183 / 19567 ti = "16/31183/19567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31183/19567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31183 ÷ 216
    31183 ÷ 65536     		x = 0.475814819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19567 ÷ 216
    19567 ÷ 65536     		y = 0.298568725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475814819335938 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15195997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298568725585938 × 2 - 1) × π
    0.402862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26563002376872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15195997} λ = -0.15195997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26563002376872))-π/2
    2×atan(3.54532567207503)-π/2
    2×1.29587698823506-π/2
    2.59175397647012-1.57079632675     		φ = 1.02095765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15195997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.706665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02095765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.496564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31183 KachelY 19567 -0.15195997 1.02095765 -8.706665 58.496564
    Oben rechts KachelX + 1 31184 KachelY 19567 -0.15186410 1.02095765 -8.701172 58.496564
    Unten links KachelX 31183 KachelY + 1 19568 -0.15195997 1.02090755 -8.706665 58.493694
    Unten rechts KachelX + 1 31184 KachelY + 1 19568 -0.15186410 1.02090755 -8.701172 58.493694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02095765-1.02090755) × R
    5.00999999999419e-05 × 6371000     		dl = 319.18709999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02095765-1.02090755) × R
    5.00999999999419e-05 × 6371000     		dr = 319.18709999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(1.02095765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.522549690141414 × 6371000     		do = 319.166959955658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15195997--0.15186410) × cos(1.02090755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.522592405188104 × 6371000     		du = 319.193049783772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02095765)-sin(1.02090755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522549690141414-0.522592405188104)×R²
    abs(-0.15186410--0.15195997)×4.27150466901782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27150466901782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27150466901782e-05×40589641000000     		ar = 101878.140153576m²