Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31182 / 20162
↖ ↑ ↗
← N 56.746699°
W  8.712158°		 ← 334.96 m → N 56.746699°
W  8.706665°		 →
↑
334.92 m
↓
↑
334.92 m
↓
N 56.743687°
W  8.712158°		 ← 334.98 m →
112 189 m²		 N 56.743687°
W  8.706665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475807189941406 y=0.307655334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475807189941406 × 216)
    floor (0.475807189941406 × 65536)
    floor (31182.5)     		tx = 31182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307655334472656 × 216)
    floor (0.307655334472656 × 65536)
    floor (20162.5)     		ty = 20162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31182 / 20162 ti = "16/31182/20162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31182/20162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31182 ÷ 216
    31182 ÷ 65536     		x = 0.475799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20162 ÷ 216
    20162 ÷ 65536     		y = 0.307647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307647705078125 × 2 - 1) × π
    0.38470458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20858511322086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15205585} λ = -0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20858511322086))-π/2
    2×atan(3.34874320654569)-π/2
    2×1.28060653282331-π/2
    2.56121306564662-1.57079632675     		φ = 0.99041674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99041674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.746699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31182 KachelY 20162 -0.15205585 0.99041674 -8.712158 56.746699
    Oben rechts KachelX + 1 31183 KachelY 20162 -0.15195997 0.99041674 -8.706665 56.746699
    Unten links KachelX 31182 KachelY + 1 20163 -0.15205585 0.99036417 -8.712158 56.743687
    Unten rechts KachelX + 1 31183 KachelY + 1 20163 -0.15195997 0.99036417 -8.706665 56.743687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99041674-0.99036417) × R
    5.25700000000295e-05 × 6371000     		dl = 334.923470000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99041674-0.99036417) × R
    5.25700000000295e-05 × 6371000     		dr = 334.923470000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15205585--0.15195997) × cos(0.99041674) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.548341407479256 × 6371000     		do = 334.955160303961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15205585--0.15195997) × cos(0.99036417) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.548385368624124 × 6371000     		du = 334.982014034366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99041674)-sin(0.99036417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548341407479256-0.548385368624124)×R²
    abs(-0.15195997--0.15205585)×4.39611448679322e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39611448679322e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39611448679322e-05×40589641000000     		ar = 112188.841581704m²