Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31182 / 12931
↖ ↑ ↗
← N 73.017779°
W  8.712158°		 ← 178.41 m → N 73.017779°
W  8.706665°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
N 73.016174°
W  8.712158°		 ← 178.43 m →
31 840 m²		 N 73.016174°
W  8.706665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475807189941406 y=0.197319030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475807189941406 × 216)
    floor (0.475807189941406 × 65536)
    floor (31182.5)     		tx = 31182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197319030761719 × 216)
    floor (0.197319030761719 × 65536)
    floor (12931.5)     		ty = 12931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31182 / 12931 ti = "16/31182/12931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31182/12931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31182 ÷ 216
    31182 ÷ 65536     		x = 0.475799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12931 ÷ 216
    12931 ÷ 65536     		y = 0.197311401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197311401367188 × 2 - 1) × π
    0.605377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90184855552611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15205585} λ = -0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90184855552611))-π/2
    2×atan(6.69826511981697)-π/2
    2×1.4225984912945-π/2
    2.84519698258899-1.57079632675     		φ = 1.27440066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27440066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.017779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31182 KachelY 12931 -0.15205585 1.27440066 -8.712158 73.017779
    Oben rechts KachelX + 1 31183 KachelY 12931 -0.15195997 1.27440066 -8.706665 73.017779
    Unten links KachelX 31182 KachelY + 1 12932 -0.15205585 1.27437265 -8.712158 73.016174
    Unten rechts KachelX + 1 31183 KachelY + 1 12932 -0.15195997 1.27437265 -8.706665 73.016174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27440066-1.27437265) × R
    2.80099999998562e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27440066-1.27437265) × R
    2.80099999998562e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15205585--0.15195997) × cos(1.27440066) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292074943505472 × 6371000     		do = 178.41441151122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15205585--0.15195997) × cos(1.27437265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.292101732027017 × 6371000     		du = 178.430775319253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27440066)-sin(1.27437265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292074943505472-0.292101732027017)×R²
    abs(-0.15195997--0.15205585)×2.67885215450847e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.67885215450847e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.67885215450847e-05×40589641000000     		ar = 31839.8168995329m²