Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31181 / 37618
↖ ↑ ↗
← S 25.730633°
W  8.717651°		 ← 550.23 m → S 25.730633°
W  8.712158°		 →
↑
550.20 m
↓
↑
550.20 m
↓
S 25.735581°
W  8.717651°		 ← 550.20 m →
302 727 m²		 S 25.735581°
W  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475791931152344 y=0.574012756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475791931152344 × 216)
    floor (0.475791931152344 × 65536)
    floor (31181.5)     		tx = 31181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574012756347656 × 216)
    floor (0.574012756347656 × 65536)
    floor (37618.5)     		ty = 37618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31181 / 37618 ti = "16/31181/37618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31181/37618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31181 ÷ 216
    31181 ÷ 65536     		x = 0.475784301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37618 ÷ 216
    37618 ÷ 65536     		y = 0.574005126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475784301757812 × 2 - 1) × π
    -0.048431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15215172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.14801025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.464987926314545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15215172} λ = -0.15215172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.464987926314545))-π/2
    2×atan(0.628142689141107)-π/2
    2×0.560856035307797-π/2
    1.12171207061559-1.57079632675     		φ = -0.44908426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15215172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.717651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44908426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.730633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31181 KachelY 37618 -0.15215172 -0.44908426 -8.717651 -25.730633
    Oben rechts KachelX + 1 31182 KachelY 37618 -0.15205585 -0.44908426 -8.712158 -25.730633
    Unten links KachelX 31181 KachelY + 1 37619 -0.15215172 -0.44917062 -8.717651 -25.735581
    Unten rechts KachelX + 1 31182 KachelY + 1 37619 -0.15205585 -0.44917062 -8.712158 -25.735581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44908426--0.44917062) × R
    8.63600000000075e-05 × 6371000     		dl = 550.199560000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44908426--0.44917062) × R
    8.63600000000075e-05 × 6371000     		dr = 550.199560000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15215172--0.15205585) × cos(-0.44908426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900845040086889 × 6371000     		do = 550.225133150219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15215172--0.15205585) × cos(-0.44917062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90080754433021 × 6371000     		du = 550.202231200613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44908426)-sin(-0.44917062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900845040086889-0.90080754433021)×R²
    abs(-0.15205585--0.15215172)×3.74957566785517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74957566785517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74957566785517e-05×40589641000000     		ar = 302727.326027098m²