Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31181 / 19821
↖ ↑ ↗
← N 57.759868°
W  8.717651°		 ← 325.84 m → N 57.759868°
W  8.712158°		 →
↑
325.88 m
↓
↑
325.88 m
↓
N 57.756938°
W  8.717651°		 ← 325.86 m →
106 187 m²		 N 57.756938°
W  8.712158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475791931152344 y=0.302452087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475791931152344 × 216)
    floor (0.475791931152344 × 65536)
    floor (31181.5)     		tx = 31181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302452087402344 × 216)
    floor (0.302452087402344 × 65536)
    floor (19821.5)     		ty = 19821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31181 / 19821 ti = "16/31181/19821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31181/19821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31181 ÷ 216
    31181 ÷ 65536     		x = 0.475784301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19821 ÷ 216
    19821 ÷ 65536     		y = 0.302444458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475784301757812 × 2 - 1) × π
    -0.048431396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15215172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302444458007812 × 2 - 1) × π
    0.395111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24127807876173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15215172} λ = -0.15215172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24127807876173))-π/2
    2×atan(3.46003283449046)-π/2
    2×1.28944810246933-π/2
    2.57889620493866-1.57079632675     		φ = 1.00809988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15215172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.717651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00809988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.759868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31181 KachelY 19821 -0.15215172 1.00809988 -8.717651 57.759868
    Oben rechts KachelX + 1 31182 KachelY 19821 -0.15205585 1.00809988 -8.712158 57.759868
    Unten links KachelX 31181 KachelY + 1 19822 -0.15215172 1.00804873 -8.717651 57.756938
    Unten rechts KachelX + 1 31182 KachelY + 1 19822 -0.15205585 1.00804873 -8.712158 57.756938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00809988-1.00804873) × R
    5.11499999999998e-05 × 6371000     		dl = 325.876649999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00809988-1.00804873) × R
    5.11499999999998e-05 × 6371000     		dr = 325.876649999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15215172--0.15205585) × cos(1.00809988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533468842401116 × 6371000     		do = 325.836244614652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15215172--0.15205585) × cos(1.00804873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533512105381775 × 6371000     		du = 325.862669114132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00809988)-sin(1.00804873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533468842401116-0.533512105381775)×R²
    abs(-0.15205585--0.15215172)×4.32629806582652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32629806582652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32629806582652e-05×40589641000000     		ar = 106186.729430187m²