Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31180 / 17078
↖ ↑ ↗
← N 64.946813°
W  8.723144°		 ← 258.64 m → N 64.946813°
W  8.717651°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 64.944487°
W  8.723144°		 ← 258.67 m →
66 904 m²		 N 64.944487°
W  8.717651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475776672363281 y=0.260597229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475776672363281 × 216)
    floor (0.475776672363281 × 65536)
    floor (31180.5)     		tx = 31180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260597229003906 × 216)
    floor (0.260597229003906 × 65536)
    floor (17078.5)     		ty = 17078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31180 / 17078 ti = "16/31180/17078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31180/17078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31180 ÷ 216
    31180 ÷ 65536     		x = 0.47576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17078 ÷ 216
    17078 ÷ 65536     		y = 0.260589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260589599609375 × 2 - 1) × π
    0.47882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50425991007736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15224759} λ = -0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50425991007736))-π/2
    2×atan(4.50082138480944)-π/2
    2×1.35216602760152-π/2
    2.70433205520303-1.57079632675     		φ = 1.13353573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13353573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.946813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31180 KachelY 17078 -0.15224759 1.13353573 -8.723144 64.946813
    Oben rechts KachelX + 1 31181 KachelY 17078 -0.15215172 1.13353573 -8.717651 64.946813
    Unten links KachelX 31180 KachelY + 1 17079 -0.15224759 1.13349513 -8.723144 64.944487
    Unten rechts KachelX + 1 31181 KachelY + 1 17079 -0.15215172 1.13349513 -8.717651 64.944487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13353573-1.13349513) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13353573-1.13349513) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15224759--0.15215172) × cos(1.13353573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423459390365703 × 6371000     		do = 258.643816727021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15224759--0.15215172) × cos(1.13349513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423496170169215 × 6371000     		du = 258.66628138119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13353573)-sin(1.13349513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423459390365703-0.423496170169215)×R²
    abs(-0.15215172--0.15224759)×3.6779803512077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6779803512077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6779803512077e-05×40589641000000     		ar = 66904.387500936m²