Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31179 / 17073
↖ ↑ ↗
← N 64.958441°
W  8.728638°		 ← 258.56 m → N 64.958441°
W  8.723144°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
N 64.956116°
W  8.728638°		 ← 258.58 m →
66 866 m²		 N 64.956116°
W  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475761413574219 y=0.260520935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475761413574219 × 216)
    floor (0.475761413574219 × 65536)
    floor (31179.5)     		tx = 31179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260520935058594 × 216)
    floor (0.260520935058594 × 65536)
    floor (17073.5)     		ty = 17073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31179 / 17073 ti = "16/31179/17073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31179/17073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31179 ÷ 216
    31179 ÷ 65536     		x = 0.475753784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17073 ÷ 216
    17073 ÷ 65536     		y = 0.260513305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475753784179688 × 2 - 1) × π
    -0.048492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15234347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260513305664062 × 2 - 1) × π
    0.478973388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50473927907356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15234347} λ = -0.15234347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50473927907356))-π/2
    2×atan(4.5029794562537)-π/2
    2×1.35226750221745-π/2
    2.7045350044349-1.57079632675     		φ = 1.13373868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15234347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.728638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13373868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.958441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31179 KachelY 17073 -0.15234347 1.13373868 -8.728638 64.958441
    Oben rechts KachelX + 1 31180 KachelY 17073 -0.15224759 1.13373868 -8.723144 64.958441
    Unten links KachelX 31179 KachelY + 1 17074 -0.15234347 1.13369809 -8.728638 64.956116
    Unten rechts KachelX + 1 31180 KachelY + 1 17074 -0.15224759 1.13369809 -8.723144 64.956116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13373868-1.13369809) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13373868-1.13369809) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15234347--0.15224759) × cos(1.13373868) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.423275526179203 × 6371000     		do = 258.5584816144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15234347--0.15224759) × cos(1.13369809) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.423312300411479 × 6371000     		du = 258.580945208611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13373868)-sin(1.13369809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423275526179203-0.423312300411479)×R²
    abs(-0.15224759--0.15234347)×3.67742322759379e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.67742322759379e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.67742322759379e-05×40589641000000     		ar = 66865.8408849821m²