Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31179 / 14741
↖ ↑ ↗
← N 69.860437°
W  8.728638°		 ← 210.32 m → N 69.860437°
W  8.723144°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
N 69.858546°
W  8.728638°		 ← 210.34 m →
44 234 m²		 N 69.858546°
W  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475761413574219 y=0.224937438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475761413574219 × 216)
    floor (0.475761413574219 × 65536)
    floor (31179.5)     		tx = 31179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224937438964844 × 216)
    floor (0.224937438964844 × 65536)
    floor (14741.5)     		ty = 14741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31179 / 14741 ti = "16/31179/14741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31179/14741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31179 ÷ 216
    31179 ÷ 65536     		x = 0.475753784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14741 ÷ 216
    14741 ÷ 65536     		y = 0.224929809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475753784179688 × 2 - 1) × π
    -0.048492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15234347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224929809570312 × 2 - 1) × π
    0.550140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7283169789015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15234347} λ = -0.15234347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7283169789015))-π/2
    2×atan(5.63116855315664)-π/2
    2×1.39504548457375-π/2
    2.7900909691475-1.57079632675     		φ = 1.21929464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15234347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.728638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21929464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.860437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31179 KachelY 14741 -0.15234347 1.21929464 -8.728638 69.860437
    Oben rechts KachelX + 1 31180 KachelY 14741 -0.15224759 1.21929464 -8.723144 69.860437
    Unten links KachelX 31179 KachelY + 1 14742 -0.15234347 1.21926163 -8.728638 69.858546
    Unten rechts KachelX + 1 31180 KachelY + 1 14742 -0.15224759 1.21926163 -8.723144 69.858546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21929464-1.21926163) × R
    3.3009999999889e-05 × 6371000     		dl = 210.306709999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21929464-1.21926163) × R
    3.3009999999889e-05 × 6371000     		dr = 210.306709999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15234347--0.15224759) × cos(1.21929464) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.344308063895593 × 6371000     		do = 210.321090406602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15234347--0.15224759) × cos(1.21926163) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.344339055368614 × 6371000     		du = 210.340021593765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21929464)-sin(1.21926163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344308063895593-0.344339055368614)×R²
    abs(-0.15224759--0.15234347)×3.0991473021269e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.0991473021269e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.0991473021269e-05×40589641000000     		ar = 44233.9272485581m²