Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31176 / 19784
↖ ↑ ↗
← N 57.868132°
W  8.745117°		 ← 324.89 m → N 57.868132°
W  8.739624°		 →
↑
324.86 m
↓
↑
324.86 m
↓
N 57.865210°
W  8.745117°		 ← 324.92 m →
105 548 m²		 N 57.865210°
W  8.739624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475715637207031 y=0.301887512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475715637207031 × 216)
    floor (0.475715637207031 × 65536)
    floor (31176.5)     		tx = 31176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301887512207031 × 216)
    floor (0.301887512207031 × 65536)
    floor (19784.5)     		ty = 19784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31176 / 19784 ti = "16/31176/19784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31176/19784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31176 ÷ 216
    31176 ÷ 65536     		x = 0.4757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19784 ÷ 216
    19784 ÷ 65536     		y = 0.3018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3018798828125 × 2 - 1) × π
    0.396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24482540933362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15263109} λ = -0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24482540933362))-π/2
    2×atan(3.47232851026366)-π/2
    2×1.29039287901199-π/2
    2.58078575802397-1.57079632675     		φ = 1.00998943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00998943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.868132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31176 KachelY 19784 -0.15263109 1.00998943 -8.745117 57.868132
    Oben rechts KachelX + 1 31177 KachelY 19784 -0.15253521 1.00998943 -8.739624 57.868132
    Unten links KachelX 31176 KachelY + 1 19785 -0.15263109 1.00993844 -8.745117 57.865210
    Unten rechts KachelX + 1 31177 KachelY + 1 19785 -0.15253521 1.00993844 -8.739624 57.865210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00998943-1.00993844) × R
    5.0990000000084e-05 × 6371000     		dl = 324.857290000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00998943-1.00993844) × R
    5.0990000000084e-05 × 6371000     		dr = 324.857290000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15263109--0.15253521) × cos(1.00998943) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531869672357242 × 6371000     		do = 324.893376526511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15263109--0.15253521) × cos(1.00993844) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531912851334899 × 6371000     		du = 324.919752468918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00998943)-sin(1.00993844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531869672357242-0.531912851334899)×R²
    abs(-0.15253521--0.15263109)×4.31789776568214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31789776568214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31789776568214e-05×40589641000000     		ar = 105548.266068972m²