Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31176 / 14764
↖ ↑ ↗
← N 69.816891°
W  8.745117°		 ← 210.76 m → N 69.816891°
W  8.739624°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 69.814996°
W  8.745117°		 ← 210.78 m →
44 420 m²		 N 69.814996°
W  8.739624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475715637207031 y=0.225288391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475715637207031 × 216)
    floor (0.475715637207031 × 65536)
    floor (31176.5)     		tx = 31176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225288391113281 × 216)
    floor (0.225288391113281 × 65536)
    floor (14764.5)     		ty = 14764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31176 / 14764 ti = "16/31176/14764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31176/14764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31176 ÷ 216
    31176 ÷ 65536     		x = 0.4757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14764 ÷ 216
    14764 ÷ 65536     		y = 0.22528076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22528076171875 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72611188151898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15263109} λ = -0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72611188151898))-π/2
    2×atan(5.61876495871234)-π/2
    2×1.39466547498187-π/2
    2.78933094996374-1.57079632675     		φ = 1.21853462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21853462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31176 KachelY 14764 -0.15263109 1.21853462 -8.745117 69.816891
    Oben rechts KachelX + 1 31177 KachelY 14764 -0.15253521 1.21853462 -8.739624 69.816891
    Unten links KachelX 31176 KachelY + 1 14765 -0.15263109 1.21850154 -8.745117 69.814996
    Unten rechts KachelX + 1 31177 KachelY + 1 14765 -0.15253521 1.21850154 -8.739624 69.814996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21853462-1.21850154) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dl = 210.752679999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21853462-1.21850154) × R
    3.30799999999076e-05 × 6371000     		dr = 210.752679999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15263109--0.15253521) × cos(1.21853462) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345021514276492 × 6371000     		do = 210.75690262762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15263109--0.15253521) × cos(1.21850154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		du = 210.775868665941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21853462)-sin(1.21850154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345021514276492-0.345052562802921)×R²
    abs(-0.15253521--0.15263109)×3.10485264284899e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10485264284899e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10485264284899e-05×40589641000000     		ar = 44419.5806330873m²