Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31174 / 16990
↖ ↑ ↗
← N 65.150732°
W  8.756104°		 ← 256.70 m → N 65.150732°
W  8.750610°		 →
↑
256.69 m
↓
↑
256.69 m
↓
N 65.148423°
W  8.756104°		 ← 256.72 m →
65 894 m²		 N 65.148423°
W  8.750610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475685119628906 y=0.259254455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475685119628906 × 216)
    floor (0.475685119628906 × 65536)
    floor (31174.5)     		tx = 31174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259254455566406 × 216)
    floor (0.259254455566406 × 65536)
    floor (16990.5)     		ty = 16990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31174 / 16990 ti = "16/31174/16990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31174/16990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31174 ÷ 216
    31174 ÷ 65536     		x = 0.475677490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16990 ÷ 216
    16990 ÷ 65536     		y = 0.259246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259246826171875 × 2 - 1) × π
    0.48150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51269680441049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15282284} λ = -0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51269680441049))-π/2
    2×atan(4.53895497759254)-π/2
    2×1.35394555566745-π/2
    2.7078911113349-1.57079632675     		φ = 1.13709478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13709478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.150732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31174 KachelY 16990 -0.15282284 1.13709478 -8.756104 65.150732
    Oben rechts KachelX + 1 31175 KachelY 16990 -0.15272696 1.13709478 -8.750610 65.150732
    Unten links KachelX 31174 KachelY + 1 16991 -0.15282284 1.13705449 -8.756104 65.148423
    Unten rechts KachelX + 1 31175 KachelY + 1 16991 -0.15272696 1.13705449 -8.750610 65.148423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13709478-1.13705449) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dl = 256.687590000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13709478-1.13705449) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dr = 256.687590000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15282284--0.15272696) × cos(1.13709478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		do = 256.699655649704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15282284--0.15272696) × cos(1.13705449) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420269077607696 × 6371000     		du = 256.721988054876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13709478)-sin(1.13705449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420232518139637-0.420269077607696)×R²
    abs(-0.15272696--0.15282284)×3.6559468058972e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6559468058972e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6559468058972e-05×40589641000000     		ar = 65894.4821969248m²