Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31173 / 19781
↖ ↑ ↗
← N 57.876896°
W  8.761597°		 ← 324.78 m → N 57.876896°
W  8.756104°		 →
↑
324.79 m
↓
↑
324.79 m
↓
N 57.873975°
W  8.761597°		 ← 324.81 m →
105 491 m²		 N 57.873975°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475669860839844 y=0.301841735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475669860839844 × 216)
    floor (0.475669860839844 × 65536)
    floor (31173.5)     		tx = 31173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301841735839844 × 216)
    floor (0.301841735839844 × 65536)
    floor (19781.5)     		ty = 19781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31173 / 19781 ti = "16/31173/19781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31173/19781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31173 ÷ 216
    31173 ÷ 65536     		x = 0.475662231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19781 ÷ 216
    19781 ÷ 65536     		y = 0.301834106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475662231445312 × 2 - 1) × π
    -0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301834106445312 × 2 - 1) × π
    0.396331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24511303073134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15291871} λ = -0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24511303073134))-π/2
    2×atan(3.47332736988294)-π/2
    2×1.2904693582466-π/2
    2.5809387164932-1.57079632675     		φ = 1.01014239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01014239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.876896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31173 KachelY 19781 -0.15291871 1.01014239 -8.761597 57.876896
    Oben rechts KachelX + 1 31174 KachelY 19781 -0.15282284 1.01014239 -8.756104 57.876896
    Unten links KachelX 31173 KachelY + 1 19782 -0.15291871 1.01009141 -8.761597 57.873975
    Unten rechts KachelX + 1 31174 KachelY + 1 19782 -0.15282284 1.01009141 -8.756104 57.873975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01014239-1.01009141) × R
    5.09799999999228e-05 × 6371000     		dl = 324.793579999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01014239-1.01009141) × R
    5.09799999999228e-05 × 6371000     		dr = 324.793579999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.01014239) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.531740135596693 × 6371000     		do = 324.780371640689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.01009141) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.531783310253489 × 6371000     		du = 324.806742193034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01014239)-sin(1.01009141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531740135596693-0.531783310253489)×R²
    abs(-0.15282284--0.15291871)×4.31746567959301e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.31746567959301e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.31746567959301e-05×40589641000000     		ar = 105490.862134826m²