Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31173 / 19381
↖ ↑ ↗
← N 59.026423°
W  8.761597°		 ← 314.34 m → N 59.026423°
W  8.756104°		 →
↑
314.41 m
↓
↑
314.41 m
↓
N 59.023595°
W  8.761597°		 ← 314.36 m →
98 835 m²		 N 59.023595°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475669860839844 y=0.295738220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475669860839844 × 216)
    floor (0.475669860839844 × 65536)
    floor (31173.5)     		tx = 31173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295738220214844 × 216)
    floor (0.295738220214844 × 65536)
    floor (19381.5)     		ty = 19381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31173 / 19381 ti = "16/31173/19381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31173/19381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31173 ÷ 216
    31173 ÷ 65536     		x = 0.475662231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19381 ÷ 216
    19381 ÷ 65536     		y = 0.295730590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475662231445312 × 2 - 1) × π
    -0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295730590820312 × 2 - 1) × π
    0.408538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28346255042738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15291871} λ = -0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28346255042738))-π/2
    2×atan(3.60911485741078)-π/2
    2×1.30050087198392-π/2
    2.60100174396784-1.57079632675     		φ = 1.03020542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03020542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.026423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31173 KachelY 19381 -0.15291871 1.03020542 -8.761597 59.026423
    Oben rechts KachelX + 1 31174 KachelY 19381 -0.15282284 1.03020542 -8.756104 59.026423
    Unten links KachelX 31173 KachelY + 1 19382 -0.15291871 1.03015607 -8.761597 59.023595
    Unten rechts KachelX + 1 31174 KachelY + 1 19382 -0.15282284 1.03015607 -8.756104 59.023595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03020542-1.03015607) × R
    4.9349999999837e-05 × 6371000     		dl = 314.408849998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03020542-1.03015607) × R
    4.9349999999837e-05 × 6371000     		dr = 314.408849998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.03020542) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.514642727750833 × 6371000     		do = 314.337484029732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.03015607) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.514685040047317 × 6371000     		du = 314.363327862946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03020542)-sin(1.03015607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514642727750833-0.514685040047317)×R²
    abs(-0.15282284--0.15291871)×4.23122964844369e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.23122964844369e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.23122964844369e-05×40589641000000     		ar = 98834.5496503137m²