Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31173 / 16987
↖ ↑ ↗
← N 65.157657°
W  8.761597°		 ← 256.61 m → N 65.157657°
W  8.756104°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
N 65.155349°
W  8.761597°		 ← 256.63 m →
65 854 m²		 N 65.155349°
W  8.756104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475669860839844 y=0.259208679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475669860839844 × 216)
    floor (0.475669860839844 × 65536)
    floor (31173.5)     		tx = 31173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259208679199219 × 216)
    floor (0.259208679199219 × 65536)
    floor (16987.5)     		ty = 16987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31173 / 16987 ti = "16/31173/16987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31173/16987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31173 ÷ 216
    31173 ÷ 65536     		x = 0.475662231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16987 ÷ 216
    16987 ÷ 65536     		y = 0.259201049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475662231445312 × 2 - 1) × π
    -0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259201049804688 × 2 - 1) × π
    0.481597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51298442580821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15291871} λ = -0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51298442580821))-π/2
    2×atan(4.54026066593033)-π/2
    2×1.35400598171311-π/2
    2.70801196342623-1.57079632675     		φ = 1.13721564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13721564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.157657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31173 KachelY 16987 -0.15291871 1.13721564 -8.761597 65.157657
    Oben rechts KachelX + 1 31174 KachelY 16987 -0.15282284 1.13721564 -8.756104 65.157657
    Unten links KachelX 31173 KachelY + 1 16988 -0.15291871 1.13717536 -8.761597 65.155349
    Unten rechts KachelX + 1 31174 KachelY + 1 16988 -0.15282284 1.13717536 -8.756104 65.155349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13721564-1.13717536) × R
    4.02799999998926e-05 × 6371000     		dl = 256.623879999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13721564-1.13717536) × R
    4.02799999998926e-05 × 6371000     		dr = 256.623879999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.13721564) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.420122844717429 × 6371000     		do = 256.605895451084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15291871--0.15282284) × cos(1.13717536) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.420159397157108 × 6371000     		du = 256.628221234203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13721564)-sin(1.13717536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420122844717429-0.420159397157108)×R²
    abs(-0.15282284--0.15291871)×3.65524396785943e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.65524396785943e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.65524396785943e-05×40589641000000     		ar = 65854.0651950278m²