Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31172 / 19780
↖ ↑ ↗
← N 57.879817°
W  8.767090°		 ← 324.75 m → N 57.879817°
W  8.761597°		 →
↑
324.79 m
↓
↑
324.79 m
↓
N 57.876896°
W  8.767090°		 ← 324.78 m →
105 482 m²		 N 57.876896°
W  8.761597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475654602050781 y=0.301826477050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475654602050781 × 216)
    floor (0.475654602050781 × 65536)
    floor (31172.5)     		tx = 31172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301826477050781 × 216)
    floor (0.301826477050781 × 65536)
    floor (19780.5)     		ty = 19780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31172 / 19780 ti = "16/31172/19780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31172/19780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31172 ÷ 216
    31172 ÷ 65536     		x = 0.47564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19780 ÷ 216
    19780 ÷ 65536     		y = 0.30181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.0487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15301458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30181884765625 × 2 - 1) × π
    0.3963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24520890453058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15301458} λ = -0.15301458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24520890453058))-π/2
    2×atan(3.47366038693744)-π/2
    2×1.29049484718529-π/2
    2.58098969437057-1.57079632675     		φ = 1.01019337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15301458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01019337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.879817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31172 KachelY 19780 -0.15301458 1.01019337 -8.767090 57.879817
    Oben rechts KachelX + 1 31173 KachelY 19780 -0.15291871 1.01019337 -8.761597 57.879817
    Unten links KachelX 31172 KachelY + 1 19781 -0.15301458 1.01014239 -8.767090 57.876896
    Unten rechts KachelX + 1 31173 KachelY + 1 19781 -0.15291871 1.01014239 -8.761597 57.876896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01019337-1.01014239) × R
    5.09800000001448e-05 × 6371000     		dl = 324.793580000923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01019337-1.01014239) × R
    5.09800000001448e-05 × 6371000     		dr = 324.793580000923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15301458--0.15291871) × cos(1.01019337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531696959557926 × 6371000     		do = 324.754000244158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15301458--0.15291871) × cos(1.01014239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531740135596693 × 6371000     		du = 324.780371640595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01019337)-sin(1.01014239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531696959557926-0.531740135596693)×R²
    abs(-0.15291871--0.15301458)×4.31760387675784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31760387675784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31760387675784e-05×40589641000000     		ar = 105482.297011701m²