Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31170 / 37569
↖ ↑ ↗
← S 25.487910°
W  8.778076°		 ← 551.34 m → S 25.487910°
W  8.772583°		 →
↑
551.35 m
↓
↑
551.35 m
↓
S 25.492868°
W  8.778076°		 ← 551.32 m →
303 975 m²		 S 25.492868°
W  8.772583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475624084472656 y=0.573265075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475624084472656 × 216)
    floor (0.475624084472656 × 65536)
    floor (31170.5)     		tx = 31170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573265075683594 × 216)
    floor (0.573265075683594 × 65536)
    floor (37569.5)     		ty = 37569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31170 / 37569 ti = "16/31170/37569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31170/37569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31170 ÷ 216
    31170 ÷ 65536     		x = 0.475616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37569 ÷ 216
    37569 ÷ 65536     		y = 0.573257446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.04876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15320633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573257446289062 × 2 - 1) × π
    -0.146514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.460290110151779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15320633} λ = -0.15320633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460290110151779))-π/2
    2×atan(0.63110053027579)-π/2
    2×0.562974190449386-π/2
    1.12594838089877-1.57079632675     		φ = -0.44484795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15320633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44484795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.487910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31170 KachelY 37569 -0.15320633 -0.44484795 -8.778076 -25.487910
    Oben rechts KachelX + 1 31171 KachelY 37569 -0.15311046 -0.44484795 -8.772583 -25.487910
    Unten links KachelX 31170 KachelY + 1 37570 -0.15320633 -0.44493449 -8.778076 -25.492868
    Unten rechts KachelX + 1 31171 KachelY + 1 37570 -0.15311046 -0.44493449 -8.772583 -25.492868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44484795--0.44493449) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dl = 551.346340000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44484795--0.44493449) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dr = 551.346340000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15320633--0.15311046) × cos(-0.44484795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90267610608276 × 6371000     		do = 551.343525866561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15320633--0.15311046) × cos(-0.44493449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902638862755047 × 6371000     		du = 551.320778097479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44484795)-sin(-0.44493449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90267610608276-0.902638862755047)×R²
    abs(-0.15311046--0.15320633)×3.72433277138207e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72433277138207e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72433277138207e-05×40589641000000     		ar = 303974.964309259m²