Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31170 / 20036
↖ ↑ ↗
← N 57.124314°
W  8.778076°		 ← 331.55 m → N 57.124314°
W  8.772583°		 →
↑
331.55 m
↓
↑
331.55 m
↓
N 57.121332°
W  8.778076°		 ← 331.57 m →
109 928 m²		 N 57.121332°
W  8.772583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475624084472656 y=0.305732727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475624084472656 × 216)
    floor (0.475624084472656 × 65536)
    floor (31170.5)     		tx = 31170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305732727050781 × 216)
    floor (0.305732727050781 × 65536)
    floor (20036.5)     		ty = 20036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31170 / 20036 ti = "16/31170/20036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31170/20036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31170 ÷ 216
    31170 ÷ 65536     		x = 0.475616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20036 ÷ 216
    20036 ÷ 65536     		y = 0.30572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.04876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15320633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30572509765625 × 2 - 1) × π
    0.3885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22066521192511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15320633} λ = -0.15320633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22066521192511))-π/2
    2×atan(3.38944168088751)-π/2
    2×1.28390184524515-π/2
    2.5678036904903-1.57079632675     		φ = 0.99700736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15320633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99700736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.124314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31170 KachelY 20036 -0.15320633 0.99700736 -8.778076 57.124314
    Oben rechts KachelX + 1 31171 KachelY 20036 -0.15311046 0.99700736 -8.772583 57.124314
    Unten links KachelX 31170 KachelY + 1 20037 -0.15320633 0.99695532 -8.778076 57.121332
    Unten rechts KachelX + 1 31171 KachelY + 1 20037 -0.15311046 0.99695532 -8.772583 57.121332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99700736-0.99695532) × R
    5.2040000000031e-05 × 6371000     		dl = 331.546840000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99700736-0.99695532) × R
    5.2040000000031e-05 × 6371000     		dr = 331.546840000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15320633--0.15311046) × cos(0.99700736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542818102393969 × 6371000     		do = 331.546658276837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15320633--0.15311046) × cos(0.99695532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542861807467962 × 6371000     		du = 331.573352801519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99700736)-sin(0.99695532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542818102393969-0.542861807467962)×R²
    abs(-0.15311046--0.15320633)×4.37050739934275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37050739934275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37050739934275e-05×40589641000000     		ar = 109927.672131787m²