Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3117 / 3621
↖ ↑ ↗
← N 20.427013°
W 43.022461°		 ← 4 579.22 m → N 20.427013°
W 42.978516°		 →
↑
4 579.86 m
↓
↑
4 579.86 m
↓
N 20.385825°
W 43.022461°		 ← 4 580.44 m →
20 974 972 m²		 N 20.385825°
W 42.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38055419921875 y=0.44207763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38055419921875 × 213)
    floor (0.38055419921875 × 8192)
    floor (3117.5)     		tx = 3117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44207763671875 × 213)
    floor (0.44207763671875 × 8192)
    floor (3621.5)     		ty = 3621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3117 / 3621 ti = "13/3117/3621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3117/3621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3117 ÷ 213
    3117 ÷ 8192     		x = 0.3804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3621 ÷ 213
    3621 ÷ 8192     		y = 0.4420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4420166015625 × 2 - 1) × π
    0.115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75088360} λ = -0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364320437112427))-π/2
    2×atan(1.43953542083372)-π/2
    2×0.963657478370501-π/2
    1.927314956741-1.57079632675     		φ = 0.35651863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35651863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.427013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3117 KachelY 3621 -0.75088360 0.35651863 -43.022461 20.427013
    Oben rechts KachelX + 1 3118 KachelY 3621 -0.75011661 0.35651863 -42.978516 20.427013
    Unten links KachelX 3117 KachelY + 1 3622 -0.75088360 0.35579977 -43.022461 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 3118 KachelY + 1 3622 -0.75011661 0.35579977 -42.978516 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35651863-0.35579977) × R
    0.000718859999999988 × 6371000     		dl = 4579.85705999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35651863-0.35579977) × R
    0.000718859999999988 × 6371000     		dr = 4579.85705999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75088360--0.75011661) × cos(0.35651863) × R
    0.000766990000000023 × 0.937117546648546 × 6371000     		do = 4579.21860363952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75088360--0.75011661) × cos(0.35579977) × R
    0.000766990000000023 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 4580.44340308334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35651863)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937117546648546-0.937368196628222)×R²
    abs(-0.75011661--0.75088360)×0.000250649979676054×R²
    0.000766990000000023×0.000250649979676054×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250649979676054×40589641000000     		ar = 20974972.2576039m²