Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3117 / 3153
↖ ↑ ↗
← S 69.193800°
E 93.955078°		 ← 3 471.44 m → S 69.193800°
E 94.042969°		 →
↑
3 468.95 m
↓
↑
3 468.95 m
↓
S 69.224997°
E 93.955078°		 ← 3 466.47 m →
12 033 623 m²		 S 69.224997°
E 94.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7611083984375 y=0.7698974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7611083984375 × 212)
    floor (0.7611083984375 × 4096)
    floor (3117.5)     		tx = 3117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7698974609375 × 212)
    floor (0.7698974609375 × 4096)
    floor (3153.5)     		ty = 3153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3117 / 3153 ti = "12/3117/3153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3117/3153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3117 ÷ 212
    3117 ÷ 4096     		x = 0.760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3153 ÷ 212
    3153 ÷ 4096     		y = 0.769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    0.52197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63982546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63982546} λ = 1.63982546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69504877056519))-π/2
    2×atan(0.183590275007899)-π/2
    2×0.181568349476913-π/2
    0.363136698953826-1.57079632675     		φ = -1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63982546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3117 KachelY 3153 1.63982546 -1.20765963 93.955078 -69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 3118 KachelY 3153 1.64135944 -1.20765963 94.042969 -69.193800
    Unten links KachelX 3117 KachelY + 1 3154 1.63982546 -1.20820412 93.955078 -69.224997
    Unten rechts KachelX + 1 3118 KachelY + 1 3154 1.64135944 -1.20820412 94.042969 -69.224997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20765963--1.20820412) × R
    0.000544490000000009 × 6371000     		dl = 3468.94579000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20765963--1.20820412) × R
    0.000544490000000009 × 6371000     		dr = 3468.94579000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63982546-1.64135944) × cos(-1.20765963) × R
    0.00153398000000005 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 3471.44419026002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63982546-1.64135944) × cos(-1.20820412) × R
    0.00153398000000005 × 0.354699085104731 × 6371000     		du = 3466.46939866691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20765963)-sin(-1.20820412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.354699085104731)×R²
    abs(1.64135944-1.63982546)×0.000509034935471164×R²
    0.00153398000000005×0.000509034935471164×6371000²
    0.00153398000000005×0.000509034935471164×40589641000000     		ar = 12033623.3651402m²