Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31168 / 20035
↖ ↑ ↗
← N 57.127296°
W  8.789063°		 ← 331.55 m → N 57.127296°
W  8.783569°		 →
↑
331.55 m
↓
↑
331.55 m
↓
N 57.124314°
W  8.789063°		 ← 331.58 m →
109 930 m²		 N 57.124314°
W  8.783569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475593566894531 y=0.305717468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475593566894531 × 216)
    floor (0.475593566894531 × 65536)
    floor (31168.5)     		tx = 31168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305717468261719 × 216)
    floor (0.305717468261719 × 65536)
    floor (20035.5)     		ty = 20035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31168 / 20035 ti = "16/31168/20035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31168/20035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31168 ÷ 216
    31168 ÷ 65536     		x = 0.4755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20035 ÷ 216
    20035 ÷ 65536     		y = 0.305709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305709838867188 × 2 - 1) × π
    0.388580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22076108572435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15339808} λ = -0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22076108572435))-π/2
    2×atan(3.38976665511677)-π/2
    2×1.2839278652143-π/2
    2.5678557304286-1.57079632675     		φ = 0.99705940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99705940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.127296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31168 KachelY 20035 -0.15339808 0.99705940 -8.789063 57.127296
    Oben rechts KachelX + 1 31169 KachelY 20035 -0.15330220 0.99705940 -8.783569 57.127296
    Unten links KachelX 31168 KachelY + 1 20036 -0.15339808 0.99700736 -8.789063 57.124314
    Unten rechts KachelX + 1 31169 KachelY + 1 20036 -0.15330220 0.99700736 -8.783569 57.124314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99705940-0.99700736) × R
    5.2040000000031e-05 × 6371000     		dl = 331.546840000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99705940-0.99700736) × R
    5.2040000000031e-05 × 6371000     		dr = 331.546840000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15339808--0.15330220) × cos(0.99705940) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542774395849936 × 6371000     		do = 331.554543011014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15339808--0.15330220) × cos(0.99700736) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542818102393969 × 6371000     		du = 331.581241218122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99705940)-sin(0.99700736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542774395849936-0.542818102393969)×R²
    abs(-0.15330220--0.15339808)×4.3706544032629e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3706544032629e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3706544032629e-05×40589641000000     		ar = 109930.286900963m²