Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31167 / 20031
↖ ↑ ↗
← N 57.139220°
W  8.794556°		 ← 331.41 m → N 57.139220°
W  8.789063°		 →
↑
331.42 m
↓
↑
331.42 m
↓
N 57.136239°
W  8.794556°		 ← 331.44 m →
109 841 m²		 N 57.136239°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475578308105469 y=0.305656433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475578308105469 × 216)
    floor (0.475578308105469 × 65536)
    floor (31167.5)     		tx = 31167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305656433105469 × 216)
    floor (0.305656433105469 × 65536)
    floor (20031.5)     		ty = 20031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31167 / 20031 ti = "16/31167/20031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31167/20031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31167 ÷ 216
    31167 ÷ 65536     		x = 0.475570678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20031 ÷ 216
    20031 ÷ 65536     		y = 0.305648803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475570678710938 × 2 - 1) × π
    -0.048858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15349395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305648803710938 × 2 - 1) × π
    0.388702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22114458092131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15349395} λ = -0.15349395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22114458092131))-π/2
    2×atan(3.39106686364375)-π/2
    2×1.28403192414085-π/2
    2.5680638482817-1.57079632675     		φ = 0.99726752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15349395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99726752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.139220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31167 KachelY 20031 -0.15349395 0.99726752 -8.794556 57.139220
    Oben rechts KachelX + 1 31168 KachelY 20031 -0.15339808 0.99726752 -8.789063 57.139220
    Unten links KachelX 31167 KachelY + 1 20032 -0.15349395 0.99721550 -8.794556 57.136239
    Unten rechts KachelX + 1 31168 KachelY + 1 20032 -0.15339808 0.99721550 -8.789063 57.136239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99726752-0.99721550) × R
    5.20199999999305e-05 × 6371000     		dl = 331.419419999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99726752-0.99721550) × R
    5.20199999999305e-05 × 6371000     		dr = 331.419419999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15349395--0.15339808) × cos(0.99726752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542599588575442 × 6371000     		do = 331.413192708904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15349395--0.15339808) × cos(0.99721550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542643284198053 × 6371000     		du = 331.439881460797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99726752)-sin(0.99721550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542599588575442-0.542643284198053)×R²
    abs(-0.15339808--0.15349395)×4.3695622610973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3695622610973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3695622610973e-05×40589641000000     		ar = 109841.19071778m²