Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31167 / 16982
↖ ↑ ↗
← N 65.169193°
W  8.794556°		 ← 256.49 m → N 65.169193°
W  8.789063°		 →
↑
256.56 m
↓
↑
256.56 m
↓
N 65.166886°
W  8.794556°		 ← 256.52 m →
65 809 m²		 N 65.166886°
W  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475578308105469 y=0.259132385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475578308105469 × 216)
    floor (0.475578308105469 × 65536)
    floor (31167.5)     		tx = 31167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259132385253906 × 216)
    floor (0.259132385253906 × 65536)
    floor (16982.5)     		ty = 16982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31167 / 16982 ti = "16/31167/16982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31167/16982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31167 ÷ 216
    31167 ÷ 65536     		x = 0.475570678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16982 ÷ 216
    16982 ÷ 65536     		y = 0.259124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475570678710938 × 2 - 1) × π
    -0.048858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15349395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259124755859375 × 2 - 1) × π
    0.48175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51346379480441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15349395} λ = -0.15349395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51346379480441))-π/2
    2×atan(4.54243764787538)-π/2
    2×1.35410665674735-π/2
    2.7082133134947-1.57079632675     		φ = 1.13741699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15349395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.794556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13741699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.169193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31167 KachelY 16982 -0.15349395 1.13741699 -8.794556 65.169193
    Oben rechts KachelX + 1 31168 KachelY 16982 -0.15339808 1.13741699 -8.789063 65.169193
    Unten links KachelX 31167 KachelY + 1 16983 -0.15349395 1.13737672 -8.794556 65.166886
    Unten rechts KachelX + 1 31168 KachelY + 1 16983 -0.15339808 1.13737672 -8.789063 65.166886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13741699-1.13737672) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dl = 256.560169999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13741699-1.13737672) × R
    4.02699999999534e-05 × 6371000     		dr = 256.560169999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15349395--0.15339808) × cos(1.13741699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419940117673209 × 6371000     		do = 256.494288007152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15349395--0.15339808) × cos(1.13737672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419976664444301 × 6371000     		du = 256.516610327967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13741699)-sin(1.13737672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419940117673209-0.419976664444301)×R²
    abs(-0.15339808--0.15349395)×3.65467710919942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65467710919942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65467710919942e-05×40589641000000     		ar = 65809.0816531917m²