Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31166 / 20033
↖ ↑ ↗
← N 57.133258°
W  8.800049°		 ← 331.50 m → N 57.133258°
W  8.794556°		 →
↑
331.48 m
↓
↑
331.48 m
↓
N 57.130277°
W  8.800049°		 ← 331.53 m →
109 891 m²		 N 57.130277°
W  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475563049316406 y=0.305686950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475563049316406 × 216)
    floor (0.475563049316406 × 65536)
    floor (31166.5)     		tx = 31166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305686950683594 × 216)
    floor (0.305686950683594 × 65536)
    floor (20033.5)     		ty = 20033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31166 / 20033 ti = "16/31166/20033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31166/20033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31166 ÷ 216
    31166 ÷ 65536     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20033 ÷ 216
    20033 ÷ 65536     		y = 0.305679321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305679321289062 × 2 - 1) × π
    0.388641357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22095283332283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22095283332283))-π/2
    2×atan(3.39041669705229)-π/2
    2×1.28397989886739-π/2
    2.56795979773478-1.57079632675     		φ = 0.99716347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99716347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.133258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31166 KachelY 20033 -0.15358983 0.99716347 -8.800049 57.133258
    Oben rechts KachelX + 1 31167 KachelY 20033 -0.15349395 0.99716347 -8.794556 57.133258
    Unten links KachelX 31166 KachelY + 1 20034 -0.15358983 0.99711144 -8.800049 57.130277
    Unten rechts KachelX + 1 31167 KachelY + 1 20034 -0.15349395 0.99711144 -8.794556 57.130277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99716347-0.99711144) × R
    5.20300000000917e-05 × 6371000     		dl = 331.483130000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99716347-0.99711144) × R
    5.20300000000917e-05 × 6371000     		dr = 331.483130000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15349395) × cos(0.99716347) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.542686986751577 × 6371000     		do = 331.501149034012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15349395) × cos(0.99711144) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.542730687835983 × 6371000     		du = 331.527843906099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99716347)-sin(0.99711144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542686986751577-0.542730687835983)×R²
    abs(-0.15349395--0.15358983)×4.37010844056562e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.37010844056562e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.37010844056562e-05×40589641000000     		ar = 109891.46295517m²