Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31166 / 19790
↖ ↑ ↗
← N 57.850597°
W  8.800049°		 ← 325.05 m → N 57.850597°
W  8.794556°		 →
↑
325.05 m
↓
↑
325.05 m
↓
N 57.847674°
W  8.800049°		 ← 325.08 m →
105 662 m²		 N 57.847674°
W  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475563049316406 y=0.301979064941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475563049316406 × 216)
    floor (0.475563049316406 × 65536)
    floor (31166.5)     		tx = 31166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301979064941406 × 216)
    floor (0.301979064941406 × 65536)
    floor (19790.5)     		ty = 19790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31166 / 19790 ti = "16/31166/19790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31166/19790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31166 ÷ 216
    31166 ÷ 65536     		x = 0.475555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19790 ÷ 216
    19790 ÷ 65536     		y = 0.301971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.04888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15358983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301971435546875 × 2 - 1) × π
    0.39605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24425016653818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15358983} λ = -0.15358983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24425016653818))-π/2
    2×atan(3.47033165269875)-π/2
    2×1.29023986465014-π/2
    2.58047972930027-1.57079632675     		φ = 1.00968340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15358983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00968340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.850597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31166 KachelY 19790 -0.15358983 1.00968340 -8.800049 57.850597
    Oben rechts KachelX + 1 31167 KachelY 19790 -0.15349395 1.00968340 -8.794556 57.850597
    Unten links KachelX 31166 KachelY + 1 19791 -0.15358983 1.00963238 -8.800049 57.847674
    Unten rechts KachelX + 1 31167 KachelY + 1 19791 -0.15349395 1.00963238 -8.794556 57.847674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00968340-1.00963238) × R
    5.10199999999017e-05 × 6371000     		dl = 325.048419999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00968340-1.00963238) × R
    5.10199999999017e-05 × 6371000     		dr = 325.048419999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15358983--0.15349395) × cos(1.00968340) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532128801676204 × 6371000     		do = 325.051666054605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15358983--0.15349395) × cos(1.00963238) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532171997751046 × 6371000     		du = 325.078052440852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00968340)-sin(1.00963238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532128801676204-0.532171997751046)×R²
    abs(-0.15349395--0.15358983)×4.31960748419336e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.31960748419336e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.31960748419336e-05×40589641000000     		ar = 105661.818918499m²