Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31165 / 38045
↖ ↑ ↗
← S 27.824503°
W  8.805542°		 ← 540.17 m → S 27.824503°
W  8.800049°		 →
↑
540.20 m
↓
↑
540.20 m
↓
S 27.829361°
W  8.805542°		 ← 540.15 m →
291 791 m²		 S 27.829361°
W  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475547790527344 y=0.580528259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475547790527344 × 216)
    floor (0.475547790527344 × 65536)
    floor (31165.5)     		tx = 31165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580528259277344 × 216)
    floor (0.580528259277344 × 65536)
    floor (38045.5)     		ty = 38045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31165 / 38045 ti = "16/31165/38045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31165/38045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31165 ÷ 216
    31165 ÷ 65536     		x = 0.475540161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38045 ÷ 216
    38045 ÷ 65536     		y = 0.580520629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475540161132812 × 2 - 1) × π
    -0.048919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15368570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580520629882812 × 2 - 1) × π
    -0.161041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.505926038590073
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15368570} λ = -0.15368570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505926038590073))-π/2
    2×atan(0.602946964662353)-π/2
    2×0.542583569095097-π/2
    1.08516713819019-1.57079632675     		φ = -0.48562919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15368570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48562919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.824503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31165 KachelY 38045 -0.15368570 -0.48562919 -8.805542 -27.824503
    Oben rechts KachelX + 1 31166 KachelY 38045 -0.15358983 -0.48562919 -8.800049 -27.824503
    Unten links KachelX 31165 KachelY + 1 38046 -0.15368570 -0.48571398 -8.805542 -27.829361
    Unten rechts KachelX + 1 31166 KachelY + 1 38046 -0.15358983 -0.48571398 -8.800049 -27.829361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48562919--0.48571398) × R
    8.47900000000013e-05 × 6371000     		dl = 540.197090000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48562919--0.48571398) × R
    8.47900000000013e-05 × 6371000     		dr = 540.197090000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15368570--0.15358983) × cos(-0.48562919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884381440377622 × 6371000     		do = 540.169367797624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15368570--0.15358983) × cos(-0.48571398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884341860203097 × 6371000     		du = 540.14519271109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48562919)-sin(-0.48571398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884381440377622-0.884341860203097)×R²
    abs(-0.15358983--0.15368570)×3.95801745254332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.95801745254332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.95801745254332e-05×40589641000000     		ar = 291791.391110699m²