Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31165 / 16985
↖ ↑ ↗
← N 65.162272°
W  8.805542°		 ← 256.56 m → N 65.162272°
W  8.800049°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
N 65.159964°
W  8.805542°		 ← 256.58 m →
65 843 m²		 N 65.159964°
W  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475547790527344 y=0.259178161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475547790527344 × 216)
    floor (0.475547790527344 × 65536)
    floor (31165.5)     		tx = 31165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259178161621094 × 216)
    floor (0.259178161621094 × 65536)
    floor (16985.5)     		ty = 16985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31165 / 16985 ti = "16/31165/16985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31165/16985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31165 ÷ 216
    31165 ÷ 65536     		x = 0.475540161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16985 ÷ 216
    16985 ÷ 65536     		y = 0.259170532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475540161132812 × 2 - 1) × π
    -0.048919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15368570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259170532226562 × 2 - 1) × π
    0.481658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51317617340669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15368570} λ = -0.15368570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51317617340669))-π/2
    2×atan(4.54113133348104)-π/2
    2×1.35404625698249-π/2
    2.70809251396498-1.57079632675     		φ = 1.13729619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15368570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13729619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.162272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31165 KachelY 16985 -0.15368570 1.13729619 -8.805542 65.162272
    Oben rechts KachelX + 1 31166 KachelY 16985 -0.15358983 1.13729619 -8.800049 65.162272
    Unten links KachelX 31165 KachelY + 1 16986 -0.15368570 1.13725591 -8.805542 65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 31166 KachelY + 1 16986 -0.15358983 1.13725591 -8.800049 65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13729619-1.13725591) × R
    4.02800000001147e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13729619-1.13725591) × R
    4.02800000001147e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15368570--0.15358983) × cos(1.13729619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420049746868221 × 6371000     		do = 256.5612481787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15368570--0.15358983) × cos(1.13725591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 256.583574794355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13729619)-sin(1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420049746868221-0.420086300670952)×R²
    abs(-0.15358983--0.15368570)×3.65538027307655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65538027307655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65538027307655e-05×40589641000000     		ar = 65842.6077457465m²