Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31163 / 37573
↖ ↑ ↗
← S 25.507742°
W  8.816528°		 ← 551.31 m → S 25.507742°
W  8.811035°		 →
↑
551.28 m
↓
↑
551.28 m
↓
S 25.512700°
W  8.816528°		 ← 551.29 m →
303 921 m²		 S 25.512700°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475517272949219 y=0.573326110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475517272949219 × 216)
    floor (0.475517272949219 × 65536)
    floor (31163.5)     		tx = 31163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573326110839844 × 216)
    floor (0.573326110839844 × 65536)
    floor (37573.5)     		ty = 37573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31163 / 37573 ti = "16/31163/37573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31163/37573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31163 ÷ 216
    31163 ÷ 65536     		x = 0.475509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37573 ÷ 216
    37573 ÷ 65536     		y = 0.573318481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573318481445312 × 2 - 1) × π
    -0.146636962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.46067360534874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15387745} λ = -0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46067360534874))-π/2
    2×atan(0.630858552655224)-π/2
    2×0.562801118758006-π/2
    1.12560223751601-1.57079632675     		φ = -0.44519409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44519409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.507742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31163 KachelY 37573 -0.15387745 -0.44519409 -8.816528 -25.507742
    Oben rechts KachelX + 1 31164 KachelY 37573 -0.15378157 -0.44519409 -8.811035 -25.507742
    Unten links KachelX 31163 KachelY + 1 37574 -0.15387745 -0.44528062 -8.816528 -25.512700
    Unten rechts KachelX + 1 31164 KachelY + 1 37574 -0.15378157 -0.44528062 -8.811035 -25.512700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44519409--0.44528062) × R
    8.65300000000291e-05 × 6371000     		dl = 551.282630000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44519409--0.44528062) × R
    8.65300000000291e-05 × 6371000     		dr = 551.282630000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(-0.44519409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902527100825578 × 6371000     		do = 551.310015279371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(-0.44528062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902489834768143 × 6371000     		du = 551.287251253033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44519409)-sin(-0.44528062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902527100825578-0.902489834768143)×R²
    abs(-0.15378157--0.15387745)×3.72660574354811e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72660574354811e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72660574354811e-05×40589641000000     		ar = 303921.36065232m²