Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31163 / 37571
↖ ↑ ↗
← S 25.497826°
W  8.816528°		 ← 551.36 m → S 25.497826°
W  8.811035°		 →
↑
551.35 m
↓
↑
551.35 m
↓
S 25.502785°
W  8.816528°		 ← 551.33 m →
303 982 m²		 S 25.502785°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475517272949219 y=0.573295593261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475517272949219 × 216)
    floor (0.475517272949219 × 65536)
    floor (31163.5)     		tx = 31163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573295593261719 × 216)
    floor (0.573295593261719 × 65536)
    floor (37571.5)     		ty = 37571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31163 / 37571 ti = "16/31163/37571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31163/37571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31163 ÷ 216
    31163 ÷ 65536     		x = 0.475509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37571 ÷ 216
    37571 ÷ 65536     		y = 0.573287963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573287963867188 × 2 - 1) × π
    -0.146575927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.460481857750259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15387745} λ = -0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460481857750259))-π/2
    2×atan(0.63097952986585)-π/2
    2×0.562887651032236-π/2
    1.12577530206447-1.57079632675     		φ = -0.44502102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44502102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.497826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31163 KachelY 37571 -0.15387745 -0.44502102 -8.816528 -25.497826
    Oben rechts KachelX + 1 31164 KachelY 37571 -0.15378157 -0.44502102 -8.811035 -25.497826
    Unten links KachelX 31163 KachelY + 1 37572 -0.15387745 -0.44510756 -8.816528 -25.502785
    Unten rechts KachelX + 1 31164 KachelY + 1 37572 -0.15378157 -0.44510756 -8.811035 -25.502785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44502102--0.44510756) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dl = 551.346340000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44502102--0.44510756) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dr = 551.346340000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(-0.44502102) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902601616972084 × 6371000     		do = 551.355533577748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(-0.44510756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902564360125396 × 6371000     		du = 551.332775177808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44502102)-sin(-0.44510756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902601616972084-0.902564360125396)×R²
    abs(-0.15378157--0.15387745)×3.72568466884271e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72568466884271e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72568466884271e-05×40589641000000     		ar = 303981.581786301m²