Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31163 / 20026
↖ ↑ ↗
← N 57.154120°
W  8.816528°		 ← 331.31 m → N 57.154120°
W  8.811035°		 →
↑
331.29 m
↓
↑
331.29 m
↓
N 57.151140°
W  8.816528°		 ← 331.34 m →
109 766 m²		 N 57.151140°
W  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475517272949219 y=0.305580139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475517272949219 × 216)
    floor (0.475517272949219 × 65536)
    floor (31163.5)     		tx = 31163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305580139160156 × 216)
    floor (0.305580139160156 × 65536)
    floor (20026.5)     		ty = 20026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31163 / 20026 ti = "16/31163/20026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31163/20026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31163 ÷ 216
    31163 ÷ 65536     		x = 0.475509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20026 ÷ 216
    20026 ÷ 65536     		y = 0.305572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.048980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15387745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305572509765625 × 2 - 1) × π
    0.38885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22162394991751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15387745} λ = -0.15387745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22162394991751))-π/2
    2×atan(3.39269282564897)-π/2
    2×1.28416195066876-π/2
    2.56832390133752-1.57079632675     		φ = 0.99752757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15387745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99752757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.154120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31163 KachelY 20026 -0.15387745 0.99752757 -8.816528 57.154120
    Oben rechts KachelX + 1 31164 KachelY 20026 -0.15378157 0.99752757 -8.811035 57.154120
    Unten links KachelX 31163 KachelY + 1 20027 -0.15387745 0.99747557 -8.816528 57.151140
    Unten rechts KachelX + 1 31164 KachelY + 1 20027 -0.15378157 0.99747557 -8.811035 57.151140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99752757-0.99747557) × R
    5.2000000000052e-05 × 6371000     		dl = 331.292000000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99752757-0.99747557) × R
    5.2000000000052e-05 × 6371000     		dr = 331.292000000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(0.99752757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542381130446608 × 6371000     		do = 331.314316257358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15387745--0.15378157) × cos(0.99747557) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.54242481660613 × 6371000     		du = 331.341002012558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99752757)-sin(0.99747557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542381130446608-0.54242481660613)×R²
    abs(-0.15378157--0.15387745)×4.36861595214388e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36861595214388e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36861595214388e-05×40589641000000     		ar = 109766.202874925m²