Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31162 / 38003
↖ ↑ ↗
← S 27.620273°
W  8.822021°		 ← 541.18 m → S 27.620273°
W  8.816528°		 →
↑
541.22 m
↓
↑
541.22 m
↓
S 27.625141°
W  8.822021°		 ← 541.16 m →
292 890 m²		 S 27.625141°
W  8.816528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475502014160156 y=0.579887390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475502014160156 × 216)
    floor (0.475502014160156 × 65536)
    floor (31162.5)     		tx = 31162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579887390136719 × 216)
    floor (0.579887390136719 × 65536)
    floor (38003.5)     		ty = 38003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31162 / 38003 ti = "16/31162/38003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31162/38003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31162 ÷ 216
    31162 ÷ 65536     		x = 0.475494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38003 ÷ 216
    38003 ÷ 65536     		y = 0.579879760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15397332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579879760742188 × 2 - 1) × π
    -0.159759521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.501899339021988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15397332} λ = -0.15397332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.501899339021988))-π/2
    2×atan(0.605379745696552)-π/2
    2×0.544365808864428-π/2
    1.08873161772886-1.57079632675     		φ = -0.48206471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15397332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.822021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48206471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.620273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31162 KachelY 38003 -0.15397332 -0.48206471 -8.822021 -27.620273
    Oben rechts KachelX + 1 31163 KachelY 38003 -0.15387745 -0.48206471 -8.816528 -27.620273
    Unten links KachelX 31162 KachelY + 1 38004 -0.15397332 -0.48214966 -8.822021 -27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 31163 KachelY + 1 38004 -0.15387745 -0.48214966 -8.816528 -27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48206471--0.48214966) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dl = 541.216449999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48206471--0.48214966) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dr = 541.216449999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(-0.48206471) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886039592734024 × 6371000     		do = 541.182146977711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(-0.48214966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 541.158089983286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48206471)-sin(-0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886039592734024-0.886000205903432)×R²
    abs(-0.15387745--0.15397332)×3.93868305925693e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93868305925693e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93868305925693e-05×40589641000000     		ar = 292890.170546295m²