Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31162 / 20027
↖ ↑ ↗
← N 57.151140°
W  8.822021°		 ← 331.31 m → N 57.151140°
W  8.816528°		 →
↑
331.29 m
↓
↑
331.29 m
↓
N 57.148161°
W  8.822021°		 ← 331.33 m →
109 764 m²		 N 57.148161°
W  8.816528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475502014160156 y=0.305595397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475502014160156 × 216)
    floor (0.475502014160156 × 65536)
    floor (31162.5)     		tx = 31162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305595397949219 × 216)
    floor (0.305595397949219 × 65536)
    floor (20027.5)     		ty = 20027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31162 / 20027 ti = "16/31162/20027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31162/20027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31162 ÷ 216
    31162 ÷ 65536     		x = 0.475494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20027 ÷ 216
    20027 ÷ 65536     		y = 0.305587768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15397332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305587768554688 × 2 - 1) × π
    0.388824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22152807611827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15397332} λ = -0.15397332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22152807611827))-π/2
    2×atan(3.39236757089008)-π/2
    2×1.28413594955201-π/2
    2.56827189910402-1.57079632675     		φ = 0.99747557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15397332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.822021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99747557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.151140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31162 KachelY 20027 -0.15397332 0.99747557 -8.822021 57.151140
    Oben rechts KachelX + 1 31163 KachelY 20027 -0.15387745 0.99747557 -8.816528 57.151140
    Unten links KachelX 31162 KachelY + 1 20028 -0.15397332 0.99742357 -8.822021 57.148161
    Unten rechts KachelX + 1 31163 KachelY + 1 20028 -0.15387745 0.99742357 -8.816528 57.148161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99747557-0.99742357) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dl = 331.291999999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99747557-0.99742357) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dr = 331.291999999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(0.99747557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54242481660613 × 6371000     		do = 331.30644412751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(0.99742357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542468501298934 × 6371000     		du = 331.333126203611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99747557)-sin(0.99742357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54242481660613-0.542468501298934)×R²
    abs(-0.15387745--0.15397332)×4.36846928045798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36846928045798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36846928045798e-05×40589641000000     		ar = 109763.594291605m²