Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31162 / 17074
↖ ↑ ↗
← N 64.956116°
W  8.822021°		 ← 258.55 m → N 64.956116°
W  8.816528°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 64.953791°
W  8.822021°		 ← 258.58 m →
66 848 m²		 N 64.953791°
W  8.816528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475502014160156 y=0.260536193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475502014160156 × 216)
    floor (0.475502014160156 × 65536)
    floor (31162.5)     		tx = 31162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260536193847656 × 216)
    floor (0.260536193847656 × 65536)
    floor (17074.5)     		ty = 17074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31162 / 17074 ti = "16/31162/17074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31162/17074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31162 ÷ 216
    31162 ÷ 65536     		x = 0.475494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17074 ÷ 216
    17074 ÷ 65536     		y = 0.260528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15397332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260528564453125 × 2 - 1) × π
    0.47894287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50464340527432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15397332} λ = -0.15397332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50464340527432))-π/2
    2×atan(4.50254775919988)-π/2
    2×1.35224721081968-π/2
    2.70449442163936-1.57079632675     		φ = 1.13369809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15397332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.822021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13369809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.956116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31162 KachelY 17074 -0.15397332 1.13369809 -8.822021 64.956116
    Oben rechts KachelX + 1 31163 KachelY 17074 -0.15387745 1.13369809 -8.816528 64.956116
    Unten links KachelX 31162 KachelY + 1 17075 -0.15397332 1.13365751 -8.822021 64.953791
    Unten rechts KachelX + 1 31163 KachelY + 1 17075 -0.15387745 1.13365751 -8.816528 64.953791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13369809-1.13365751) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13369809-1.13365751) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(1.13369809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423312300411479 × 6371000     		do = 258.553975981892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15397332--0.15387745) × cos(1.13365751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423349064886661 × 6371000     		du = 258.576431273703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13369809)-sin(1.13365751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423312300411479-0.423349064886661)×R²
    abs(-0.15387745--0.15397332)×3.67644751820828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67644751820828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67644751820828e-05×40589641000000     		ar = 66848.2014711529m²