Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31161 / 16952
↖ ↑ ↗
← N 65.238307°
W  8.827515°		 ← 255.85 m → N 65.238307°
W  8.822021°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
N 65.236006°
W  8.827515°		 ← 255.87 m →
65 465 m²		 N 65.236006°
W  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475486755371094 y=0.258674621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475486755371094 × 216)
    floor (0.475486755371094 × 65536)
    floor (31161.5)     		tx = 31161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258674621582031 × 216)
    floor (0.258674621582031 × 65536)
    floor (16952.5)     		ty = 16952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31161 / 16952 ti = "16/31161/16952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31161/16952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31161 ÷ 216
    31161 ÷ 65536     		x = 0.475479125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16952 ÷ 216
    16952 ÷ 65536     		y = 0.2586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475479125976562 × 2 - 1) × π
    -0.049041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15406920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2586669921875 × 2 - 1) × π
    0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15406920} λ = -0.15406920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51634000878162))-π/2
    2×atan(4.55552147745576)-π/2
    2×1.35470978790005-π/2
    2.7094195758001-1.57079632675     		φ = 1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15406920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.827515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31161 KachelY 16952 -0.15406920 1.13862325 -8.827515 65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 31162 KachelY 16952 -0.15397332 1.13862325 -8.822021 65.238307
    Unten links KachelX 31161 KachelY + 1 16953 -0.15406920 1.13858309 -8.827515 65.236006
    Unten rechts KachelX + 1 31162 KachelY + 1 16953 -0.15397332 1.13858309 -8.822021 65.236006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13862325-1.13858309) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13862325-1.13858309) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15406920--0.15397332) × cos(1.13862325) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 255.852130268704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15406920--0.15397332) × cos(1.13858309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.41888153622617 × 6371000     		du = 255.87440634841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13862325)-sin(1.13858309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.41888153622617)×R²
    abs(-0.15397332--0.15406920)×3.64672599393878e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.64672599393878e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.64672599393878e-05×40589641000000     		ar = 65465.0120857365m²