Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31160 / 17324
↖ ↑ ↗
← N 64.368438°
W  8.833008°		 ← 264.22 m → N 64.368438°
W  8.827515°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
N 64.366062°
W  8.833008°		 ← 264.24 m →
69 810 m²		 N 64.366062°
W  8.827515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475471496582031 y=0.264350891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475471496582031 × 216)
    floor (0.475471496582031 × 65536)
    floor (31160.5)     		tx = 31160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264350891113281 × 216)
    floor (0.264350891113281 × 65536)
    floor (17324.5)     		ty = 17324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31160 / 17324 ti = "16/31160/17324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31160/17324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31160 ÷ 216
    31160 ÷ 65536     		x = 0.4754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17324 ÷ 216
    17324 ÷ 65536     		y = 0.26434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26434326171875 × 2 - 1) × π
    0.4713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48067495546429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15416507} λ = -0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48067495546429))-π/2
    2×atan(4.39591172447149)-π/2
    2×1.3471187487029-π/2
    2.6942374974058-1.57079632675     		φ = 1.12344117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12344117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.368438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31160 KachelY 17324 -0.15416507 1.12344117 -8.833008 64.368438
    Oben rechts KachelX + 1 31161 KachelY 17324 -0.15406920 1.12344117 -8.827515 64.368438
    Unten links KachelX 31160 KachelY + 1 17325 -0.15416507 1.12339970 -8.833008 64.366062
    Unten rechts KachelX + 1 31161 KachelY + 1 17325 -0.15406920 1.12339970 -8.827515 64.366062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12344117-1.12339970) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12344117-1.12339970) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15416507--0.15406920) × cos(1.12344117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432582474153971 × 6371000     		do = 264.216084729581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15416507--0.15406920) × cos(1.12339970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432619862900401 × 6371000     		du = 264.238921318636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12344117)-sin(1.12339970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432582474153971-0.432619862900401)×R²
    abs(-0.15406920--0.15416507)×3.73887464298339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73887464298339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73887464298339e-05×40589641000000     		ar = 69810.325210692m²