Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3116 / 5276
↖ ↑ ↗
← S 45.951150°
W 43.066406°		 ← 3 397.44 m → S 45.951150°
W 43.022461°		 →
↑
3 396.51 m
↓
↑
3 396.51 m
↓
S 45.981695°
W 43.066406°		 ← 3 395.57 m →
11 536 247 m²		 S 45.981695°
W 43.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38043212890625 y=0.64410400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38043212890625 × 213)
    floor (0.38043212890625 × 8192)
    floor (3116.5)     		tx = 3116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64410400390625 × 213)
    floor (0.64410400390625 × 8192)
    floor (5276.5)     		ty = 5276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3116 / 5276 ti = "13/3116/5276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3116/5276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3116 ÷ 213
    3116 ÷ 8192     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5276 ÷ 213
    5276 ÷ 8192     		y = 0.64404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90504866482666))-π/2
    2×atan(0.404522198621327)-π/2
    2×0.384398734851678-π/2
    0.768797469703356-1.57079632675     		φ = -0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3116 KachelY 5276 -0.75165059 -0.80199886 -43.066406 -45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 3117 KachelY 5276 -0.75088360 -0.80199886 -43.022461 -45.951150
    Unten links KachelX 3116 KachelY + 1 5277 -0.75165059 -0.80253198 -43.066406 -45.981695
    Unten rechts KachelX + 1 3117 KachelY + 1 5277 -0.75088360 -0.80253198 -43.022461 -45.981695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80199886--0.80253198) × R
    0.000533120000000054 × 6371000     		dl = 3396.50752000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80199886--0.80253198) × R
    0.000533120000000054 × 6371000     		dr = 3396.50752000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.80199886) × R
    0.000766990000000023 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 3397.43914850179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.80253198) × R
    0.000766990000000023 × 0.694888146747612 × 6371000     		du = 3395.56626638284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80199886)-sin(-0.80253198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.694888146747612)×R²
    abs(-0.75088360--0.75165059)×0.000383277333620757×R²
    0.000766990000000023×0.000383277333620757×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383277333620757×40589641000000     		ar = 11536247.2607621m²