Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31159 / 14570
↖ ↑ ↗
← N 70.181378°
W  8.838501°		 ← 207.08 m → N 70.181378°
W  8.833008°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
N 70.179516°
W  8.838501°		 ← 207.10 m →
42 880 m²		 N 70.179516°
W  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475456237792969 y=0.222328186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475456237792969 × 216)
    floor (0.475456237792969 × 65536)
    floor (31159.5)     		tx = 31159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222328186035156 × 216)
    floor (0.222328186035156 × 65536)
    floor (14570.5)     		ty = 14570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31159 / 14570 ti = "16/31159/14570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31159/14570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31159 ÷ 216
    31159 ÷ 65536     		x = 0.475448608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14570 ÷ 216
    14570 ÷ 65536     		y = 0.222320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475448608398438 × 2 - 1) × π
    -0.049102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15426094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222320556640625 × 2 - 1) × π
    0.55535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74471139857156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15426094} λ = -0.15426094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74471139857156))-π/2
    2×atan(5.72424921051089)-π/2
    2×1.39784622537571-π/2
    2.79569245075142-1.57079632675     		φ = 1.22489612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15426094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22489612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.181378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31159 KachelY 14570 -0.15426094 1.22489612 -8.838501 70.181378
    Oben rechts KachelX + 1 31160 KachelY 14570 -0.15416507 1.22489612 -8.833008 70.181378
    Unten links KachelX 31159 KachelY + 1 14571 -0.15426094 1.22486362 -8.838501 70.179516
    Unten rechts KachelX + 1 31160 KachelY + 1 14571 -0.15416507 1.22486362 -8.833008 70.179516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22489612-1.22486362) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22489612-1.22486362) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15426094--0.15416507) × cos(1.22489612) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.339043702617723 × 6371000     		do = 207.083747054477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15426094--0.15416507) × cos(1.22486362) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.339074277483952 × 6371000     		du = 207.10242180884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22489612)-sin(1.22486362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339043702617723-0.339074277483952)×R²
    abs(-0.15416507--0.15426094)×3.05748662297045e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.05748662297045e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.05748662297045e-05×40589641000000     		ar = 42880.1763335005m²