Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31158 / 38040
↖ ↑ ↗
← S 27.800210°
W  8.843994°		 ← 540.35 m → S 27.800210°
W  8.838501°		 →
↑
540.26 m
↓
↑
540.26 m
↓
S 27.805069°
W  8.843994°		 ← 540.32 m →
291 922 m²		 S 27.805069°
W  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475440979003906 y=0.580451965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475440979003906 × 216)
    floor (0.475440979003906 × 65536)
    floor (31158.5)     		tx = 31158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580451965332031 × 216)
    floor (0.580451965332031 × 65536)
    floor (38040.5)     		ty = 38040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31158 / 38040 ti = "16/31158/38040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31158/38040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31158 ÷ 216
    31158 ÷ 65536     		x = 0.475433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38040 ÷ 216
    38040 ÷ 65536     		y = 0.5804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.04913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15435682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.505446669593872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15435682} λ = -0.15435682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505446669593872))-π/2
    2×atan(0.603236068031625)-π/2
    2×0.54279556532704-π/2
    1.08559113065408-1.57079632675     		φ = -0.48520520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15435682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48520520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.800210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31158 KachelY 38040 -0.15435682 -0.48520520 -8.843994 -27.800210
    Oben rechts KachelX + 1 31159 KachelY 38040 -0.15426094 -0.48520520 -8.838501 -27.800210
    Unten links KachelX 31158 KachelY + 1 38041 -0.15435682 -0.48529000 -8.843994 -27.805069
    Unten rechts KachelX + 1 31159 KachelY + 1 38041 -0.15426094 -0.48529000 -8.838501 -27.805069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48520520--0.48529000) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dl = 540.260799999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48520520--0.48529000) × R
    8.4799999999996e-05 × 6371000     		dr = 540.260799999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(-0.48520520) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884579264528319 × 6371000     		do = 540.346552914394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(-0.48529000) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884539711485602 × 6371000     		du = 540.322391879712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48520520)-sin(-0.48529000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884579264528319-0.884539711485602)×R²
    abs(-0.15426094--0.15435682)×3.95530427171886e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95530427171886e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95530427171886e-05×40589641000000     		ar = 291921.534499559m²