Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31158 / 37577
↖ ↑ ↗
← S 25.527572°
W  8.843994°		 ← 551.22 m → S 25.527572°
W  8.838501°		 →
↑
551.16 m
↓
↑
551.16 m
↓
S 25.532529°
W  8.843994°		 ← 551.20 m →
303 801 m²		 S 25.532529°
W  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475440979003906 y=0.573387145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475440979003906 × 216)
    floor (0.475440979003906 × 65536)
    floor (31158.5)     		tx = 31158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573387145996094 × 216)
    floor (0.573387145996094 × 65536)
    floor (37577.5)     		ty = 37577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31158 / 37577 ti = "16/31158/37577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31158/37577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31158 ÷ 216
    31158 ÷ 65536     		x = 0.475433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37577 ÷ 216
    37577 ÷ 65536     		y = 0.573379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.04913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15435682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573379516601562 × 2 - 1) × π
    -0.146759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.4610571005457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15435682} λ = -0.15435682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4610571005457))-π/2
    2×atan(0.630616667814121)-π/2
    2×0.562628075646311-π/2
    1.12525615129262-1.57079632675     		φ = -0.44554018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15435682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44554018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.527572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31158 KachelY 37577 -0.15435682 -0.44554018 -8.843994 -25.527572
    Oben rechts KachelX + 1 31159 KachelY 37577 -0.15426094 -0.44554018 -8.838501 -25.527572
    Unten links KachelX 31158 KachelY + 1 37578 -0.15435682 -0.44562669 -8.843994 -25.532529
    Unten rechts KachelX + 1 31159 KachelY + 1 37578 -0.15426094 -0.44562669 -8.838501 -25.532529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44554018--0.44562669) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dl = 551.155209999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44554018--0.44562669) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dr = 551.155209999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(-0.44554018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902378008981279 × 6371000     		do = 551.218942305625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(-0.44562669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902340724518973 × 6371000     		du = 551.196167036645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44554018)-sin(-0.44562669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902378008981279-0.902340724518973)×R²
    abs(-0.15426094--0.15435682)×3.72844623063306e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72844623063306e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72844623063306e-05×40589641000000     		ar = 303800.915737718m²