Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31158 / 20025
↖ ↑ ↗
← N 57.157099°
W  8.843994°		 ← 331.29 m → N 57.157099°
W  8.838501°		 →
↑
331.29 m
↓
↑
331.29 m
↓
N 57.154120°
W  8.843994°		 ← 331.31 m →
109 757 m²		 N 57.154120°
W  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475440979003906 y=0.305564880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475440979003906 × 216)
    floor (0.475440979003906 × 65536)
    floor (31158.5)     		tx = 31158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305564880371094 × 216)
    floor (0.305564880371094 × 65536)
    floor (20025.5)     		ty = 20025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31158 / 20025 ti = "16/31158/20025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31158/20025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31158 ÷ 216
    31158 ÷ 65536     		x = 0.475433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20025 ÷ 216
    20025 ÷ 65536     		y = 0.305557250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.04913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15435682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305557250976562 × 2 - 1) × π
    0.388885498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22171982371675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15435682} λ = -0.15435682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22171982371675))-π/2
    2×atan(3.39301811159277)-π/2
    2×1.28418794969129-π/2
    2.56837589938258-1.57079632675     		φ = 0.99757957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15435682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.843994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99757957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.157099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31158 KachelY 20025 -0.15435682 0.99757957 -8.843994 57.157099
    Oben rechts KachelX + 1 31159 KachelY 20025 -0.15426094 0.99757957 -8.838501 57.157099
    Unten links KachelX 31158 KachelY + 1 20026 -0.15435682 0.99752757 -8.843994 57.154120
    Unten rechts KachelX + 1 31159 KachelY + 1 20026 -0.15426094 0.99752757 -8.838501 57.154120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99757957-0.99752757) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dl = 331.291999999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99757957-0.99752757) × R
    5.1999999999941e-05 × 6371000     		dr = 331.291999999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(0.99757957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542337442820488 × 6371000     		do = 331.287629606285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15435682--0.15426094) × cos(0.99752757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.542381130446608 × 6371000     		du = 331.314316257358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99757957)-sin(0.99752757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542337442820488-0.542381130446608)×R²
    abs(-0.15426094--0.15435682)×4.36876261199481e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.36876261199481e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.36876261199481e-05×40589641000000     		ar = 109757.361949108m²