Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31156 / 20024
↖ ↑ ↗
← N 57.160078°
W  8.854980°		 ← 331.23 m → N 57.160078°
W  8.849487°		 →
↑
331.29 m
↓
↑
331.29 m
↓
N 57.157099°
W  8.854980°		 ← 331.25 m →
109 737 m²		 N 57.157099°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475410461425781 y=0.305549621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475410461425781 × 216)
    floor (0.475410461425781 × 65536)
    floor (31156.5)     		tx = 31156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305549621582031 × 216)
    floor (0.305549621582031 × 65536)
    floor (20024.5)     		ty = 20024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31156 / 20024 ti = "16/31156/20024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31156/20024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31156 ÷ 216
    31156 ÷ 65536     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20024 ÷ 216
    20024 ÷ 65536     		y = 0.3055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3055419921875 × 2 - 1) × π
    0.388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22181569751599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22181569751599))-π/2
    2×atan(3.39334342872447)-π/2
    2×1.2842139466197-π/2
    2.5684278932394-1.57079632675     		φ = 0.99763157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99763157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.160078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31156 KachelY 20024 -0.15454856 0.99763157 -8.854980 57.160078
    Oben rechts KachelX + 1 31157 KachelY 20024 -0.15445269 0.99763157 -8.849487 57.160078
    Unten links KachelX 31156 KachelY + 1 20025 -0.15454856 0.99757957 -8.854980 57.157099
    Unten rechts KachelX + 1 31157 KachelY + 1 20025 -0.15445269 0.99757957 -8.849487 57.157099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99763157-0.99757957) × R
    5.2000000000052e-05 × 6371000     		dl = 331.292000000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99763157-0.99757957) × R
    5.2000000000052e-05 × 6371000     		dr = 331.292000000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(0.99763157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542293753727888 × 6371000     		do = 331.226392524379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(0.99757957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542337442820488 × 6371000     		du = 331.253077287821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99763157)-sin(0.99757957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542293753727888-0.542337442820488)×R²
    abs(-0.15445269--0.15454856)×4.36890926003297e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.36890926003297e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.36890926003297e-05×40589641000000     		ar = 109737.074281265m²