Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31156 / 19564
↖ ↑ ↗
← N 58.505175°
W  8.854980°		 ← 319.09 m → N 58.505175°
W  8.849487°		 →
↑
319.12 m
↓
↑
319.12 m
↓
N 58.502305°
W  8.854980°		 ← 319.11 m →
101 833 m²		 N 58.502305°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475410461425781 y=0.298530578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475410461425781 × 216)
    floor (0.475410461425781 × 65536)
    floor (31156.5)     		tx = 31156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298530578613281 × 216)
    floor (0.298530578613281 × 65536)
    floor (19564.5)     		ty = 19564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31156 / 19564 ti = "16/31156/19564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31156/19564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31156 ÷ 216
    31156 ÷ 65536     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19564 ÷ 216
    19564 ÷ 65536     		y = 0.29852294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29852294921875 × 2 - 1) × π
    0.4029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26591764516644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26591764516644))-π/2
    2×atan(3.54634553025969)-π/2
    2×1.29595212725745-π/2
    2.59190425451491-1.57079632675     		φ = 1.02110793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02110793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.505175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31156 KachelY 19564 -0.15454856 1.02110793 -8.854980 58.505175
    Oben rechts KachelX + 1 31157 KachelY 19564 -0.15445269 1.02110793 -8.849487 58.505175
    Unten links KachelX 31156 KachelY + 1 19565 -0.15454856 1.02105784 -8.854980 58.502305
    Unten rechts KachelX + 1 31157 KachelY + 1 19565 -0.15445269 1.02105784 -8.849487 58.502305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02110793-1.02105784) × R
    5.00900000000026e-05 × 6371000     		dl = 319.123390000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02110793-1.02105784) × R
    5.00900000000026e-05 × 6371000     		dr = 319.123390000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(1.02110793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52242155418589 × 6371000     		do = 319.088696081127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(1.02105784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.522464264639938 × 6371000     		du = 319.114783104111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02110793)-sin(1.02105784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52242155418589-0.522464264639938)×R²
    abs(-0.15445269--0.15454856)×4.27104540480228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27104540480228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27104540480228e-05×40589641000000     		ar = 101832.828914853m²