Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31156 / 12964
↖ ↑ ↗
← N 72.964753°
W  8.854980°		 ← 178.94 m → N 72.964753°
W  8.849487°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
N 72.963144°
W  8.854980°		 ← 178.95 m →
32 024 m²		 N 72.963144°
W  8.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475410461425781 y=0.197822570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475410461425781 × 216)
    floor (0.475410461425781 × 65536)
    floor (31156.5)     		tx = 31156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197822570800781 × 216)
    floor (0.197822570800781 × 65536)
    floor (12964.5)     		ty = 12964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31156 / 12964 ti = "16/31156/12964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31156/12964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31156 ÷ 216
    31156 ÷ 65536     		x = 0.47540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12964 ÷ 216
    12964 ÷ 65536     		y = 0.19781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.0491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15454856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19781494140625 × 2 - 1) × π
    0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15454856} λ = -0.15454856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89868472015118))-π/2
    2×atan(6.67710640068195)-π/2
    2×1.42213575309331-π/2
    2.84427150618662-1.57079632675     		φ = 1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15454856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31156 KachelY 12964 -0.15454856 1.27347518 -8.854980 72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 31157 KachelY 12964 -0.15445269 1.27347518 -8.849487 72.964753
    Unten links KachelX 31156 KachelY + 1 12965 -0.15454856 1.27344709 -8.854980 72.963144
    Unten rechts KachelX + 1 31157 KachelY + 1 12965 -0.15445269 1.27344709 -8.849487 72.963144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27347518-1.27344709) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dl = 178.96139000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27347518-1.27344709) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dr = 178.96139000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(1.27347518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 178.936350371599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15454856--0.15445269) × cos(1.27344709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292986800570617 × 6371000     		du = 178.952754559958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27347518)-sin(1.27344709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.292986800570617)×R²
    abs(-0.15445269--0.15454856)×2.68574276769407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68574276769407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68574276769407e-05×40589641000000     		ar = 32024.1658446128m²