Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31155 / 19772
↖ ↑ ↗
← N 57.903174°
W  8.860474°		 ← 324.58 m → N 57.903174°
W  8.854980°		 →
↑
324.54 m
↓
↑
324.54 m
↓
N 57.900256°
W  8.860474°		 ← 324.60 m →
105 342 m²		 N 57.900256°
W  8.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475395202636719 y=0.301704406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475395202636719 × 216)
    floor (0.475395202636719 × 65536)
    floor (31155.5)     		tx = 31155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301704406738281 × 216)
    floor (0.301704406738281 × 65536)
    floor (19772.5)     		ty = 19772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31155 / 19772 ti = "16/31155/19772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31155/19772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31155 ÷ 216
    31155 ÷ 65536     		x = 0.475387573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19772 ÷ 216
    19772 ÷ 65536     		y = 0.30169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475387573242188 × 2 - 1) × π
    -0.049224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15464444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30169677734375 × 2 - 1) × π
    0.3966064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2459758949245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15464444} λ = -0.15464444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2459758949245))-π/2
    2×atan(3.47632567307974)-π/2
    2×1.29069868419817-π/2
    2.58139736839633-1.57079632675     		φ = 1.01060104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15464444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.860474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01060104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.903174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31155 KachelY 19772 -0.15464444 1.01060104 -8.860474 57.903174
    Oben rechts KachelX + 1 31156 KachelY 19772 -0.15454856 1.01060104 -8.854980 57.903174
    Unten links KachelX 31155 KachelY + 1 19773 -0.15464444 1.01055010 -8.860474 57.900256
    Unten rechts KachelX + 1 31156 KachelY + 1 19773 -0.15454856 1.01055010 -8.854980 57.900256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01060104-1.01055010) × R
    5.09400000001659e-05 × 6371000     		dl = 324.538740001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01060104-1.01055010) × R
    5.09400000001659e-05 × 6371000     		dr = 324.538740001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15464444--0.15454856) × cos(1.01060104) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531351645526015 × 6371000     		do = 324.576939069977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15464444--0.15454856) × cos(1.01055010) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531394798726939 × 6371000     		du = 324.603299266628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01060104)-sin(1.01055010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531351645526015-0.531394798726939)×R²
    abs(-0.15454856--0.15464444)×4.3153200923518e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3153200923518e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3153200923518e-05×40589641000000     		ar = 105342.068314121m²