Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31155 / 13059
↖ ↑ ↗
← N 72.811204°
W  8.860474°		 ← 180.52 m → N 72.811204°
W  8.854980°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 72.809581°
W  8.860474°		 ← 180.54 m →
32 595 m²		 N 72.809581°
W  8.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475395202636719 y=0.199272155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475395202636719 × 216)
    floor (0.475395202636719 × 65536)
    floor (31155.5)     		tx = 31155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199272155761719 × 216)
    floor (0.199272155761719 × 65536)
    floor (13059.5)     		ty = 13059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31155 / 13059 ti = "16/31155/13059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31155/13059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31155 ÷ 216
    31155 ÷ 65536     		x = 0.475387573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13059 ÷ 216
    13059 ÷ 65536     		y = 0.199264526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475387573242188 × 2 - 1) × π
    -0.049224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15464444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199264526367188 × 2 - 1) × π
    0.601470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88957670922337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15464444} λ = -0.15464444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88957670922337))-π/2
    2×atan(6.6165673562626)-π/2
    2×1.4207957874961-π/2
    2.8415915749922-1.57079632675     		φ = 1.27079525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15464444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.860474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27079525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.811204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31155 KachelY 13059 -0.15464444 1.27079525 -8.860474 72.811204
    Oben rechts KachelX + 1 31156 KachelY 13059 -0.15454856 1.27079525 -8.854980 72.811204
    Unten links KachelX 31155 KachelY + 1 13060 -0.15464444 1.27076691 -8.860474 72.809581
    Unten rechts KachelX + 1 31156 KachelY + 1 13060 -0.15454856 1.27076691 -8.854980 72.809581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27079525-1.27076691) × R
    2.8339999999849e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27079525-1.27076691) × R
    2.8339999999849e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15464444--0.15454856) × cos(1.27079525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.295521235362624 × 6371000     		do = 180.519583992674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15464444--0.15454856) × cos(1.27076691) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.295548309471029 × 6371000     		du = 180.536122251863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27079525)-sin(1.27076691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295521235362624-0.295548309471029)×R²
    abs(-0.15454856--0.15464444)×2.70741084050785e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.70741084050785e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.70741084050785e-05×40589641000000     		ar = 32595.0512687002m²