Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31154 / 6758
↖ ↑ ↗
← N 72.053612°
E162.268066°		 ← 376.42 m → N 72.053612°
E162.279053°		 →
↑
376.46 m
↓
↑
376.46 m
↓
N 72.050226°
E162.268066°		 ← 376.49 m →
141 721 m²		 N 72.050226°
E162.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950759887695312 y=0.206253051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950759887695312 × 215)
    floor (0.950759887695312 × 32768)
    floor (31154.5)     		tx = 31154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206253051757812 × 215)
    floor (0.206253051757812 × 32768)
    floor (6758.5)     		ty = 6758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31154 / 6758 ti = "15/31154/6758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31154/6758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31154 ÷ 215
    31154 ÷ 32768     		x = 0.95074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6758 ÷ 215
    6758 ÷ 32768     		y = 0.20623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95074462890625 × 2 - 1) × π
    0.9014892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.83211203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20623779296875 × 2 - 1) × π
    0.5875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84576238297064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83211203} λ = 2.83211203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84576238297064))-π/2
    2×atan(6.33292606541998)-π/2
    2×1.41418454267448-π/2
    2.82836908534897-1.57079632675     		φ = 1.25757276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83211203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.268066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25757276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.053612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31154 KachelY 6758 2.83211203 1.25757276 162.268066 72.053612
    Oben rechts KachelX + 1 31155 KachelY 6758 2.83230378 1.25757276 162.279053 72.053612
    Unten links KachelX 31154 KachelY + 1 6759 2.83211203 1.25751367 162.268066 72.050226
    Unten rechts KachelX + 1 31155 KachelY + 1 6759 2.83230378 1.25751367 162.279053 72.050226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25757276-1.25751367) × R
    5.90899999999284e-05 × 6371000     		dl = 376.462389999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25757276-1.25751367) × R
    5.90899999999284e-05 × 6371000     		dr = 376.462389999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83211203-2.83230378) × cos(1.25757276) × R
    0.000191750000000379 × 0.308126957011052 × 6371000     		do = 376.419984668508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83211203-2.83230378) × cos(1.25751367) × R
    0.000191750000000379 × 0.308183171463712 × 6371000     		du = 376.488658450295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25757276)-sin(1.25751367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308126957011052-0.308183171463712)×R²
    abs(2.83230378-2.83211203)×5.62144526606301e-05×R²
    0.000191750000000379×5.62144526606301e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.62144526606301e-05×40589641000000     		ar = 141720.89366111m²