Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31153 / 6752
↖ ↑ ↗
← N 72.073911°
E162.257080°		 ← 376.01 m → N 72.073911°
E162.268066°		 →
↑
376.02 m
↓
↑
376.02 m
↓
N 72.070530°
E162.257080°		 ← 376.08 m →
141 398 m²		 N 72.070530°
E162.268066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950729370117188 y=0.206069946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950729370117188 × 215)
    floor (0.950729370117188 × 32768)
    floor (31153.5)     		tx = 31153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206069946289062 × 215)
    floor (0.206069946289062 × 32768)
    floor (6752.5)     		ty = 6752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31153 / 6752 ti = "15/31153/6752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31153/6752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31153 ÷ 215
    31153 ÷ 32768     		x = 0.950714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6752 ÷ 215
    6752 ÷ 32768     		y = 0.2060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950714111328125 × 2 - 1) × π
    0.90142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.83192028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84691286856152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83192028} λ = 2.83192028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84691286856152))-π/2
    2×atan(6.34021619839872)-π/2
    2×1.41436169351939-π/2
    2.82872338703877-1.57079632675     		φ = 1.25792706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83192028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25792706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31153 KachelY 6752 2.83192028 1.25792706 162.257080 72.073911
    Oben rechts KachelX + 1 31154 KachelY 6752 2.83211203 1.25792706 162.268066 72.073911
    Unten links KachelX 31153 KachelY + 1 6753 2.83192028 1.25786804 162.257080 72.070530
    Unten rechts KachelX + 1 31154 KachelY + 1 6753 2.83211203 1.25786804 162.268066 72.070530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25792706-1.25786804) × R
    5.90200000001317e-05 × 6371000     		dl = 376.016420000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25792706-1.25786804) × R
    5.90200000001317e-05 × 6371000     		dr = 376.016420000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83192028-2.83211203) × cos(1.25792706) × R
    0.000191749999999935 × 0.307789876057852 × 6371000     		do = 376.00819334478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83192028-2.83211203) × cos(1.25786804) × R
    0.000191749999999935 × 0.307846030357859 × 6371000     		du = 376.076793641725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25792706)-sin(1.25786804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307789876057852-0.307846030357859)×R²
    abs(2.83211203-2.83192028)×5.61543000071052e-05×R²
    0.000191749999999935×5.61543000071052e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.61543000071052e-05×40589641000000     		ar = 141398.152212832m²